高等数学作业(1)

作业1.1

1．limsinxx?sinx?？说明理由，并计算lim

x??x??x2x?sinx22．计算下列极限：

（1）lim(n?3n?n)；（2）limn??12x?5?3(1?2???n)；（3）； limn??n2x?2x2?5x?61322?3)；（5）lim(x?5x?x)； （6）lim(x?x?x)；

x?1x?1x???x???x?13ex?1|x|nnnn?)；（7）lim(x（8）lim3?4?5；

x??e?1n??x2n（9）lim(1?a?a???a)(?1?a?1).

（4）lim(n???

作业1.2

1．计算下列极限：

sinkxtan3xsin2x1?cos2x(k?0)；（2）lim；（3）lim； （4）lim；

x?0x?0x?0sin5xx?0xxxsinxxsinxn（5）lim2sinn(x?0)；（6）lim.

n??x??2??x（1）lim2．计算下列极限：

1kxx?1x)；（1）lim(1?)(k?0)；（2）lim(（3）lim(1?x)x；

x?0x??x??x?1x1115x?32)x?1. （4）lim(1?sinx)x；（5）lim(cosx)x； （6）lim(x?0x?0x?1x?1n!u3．设un?n，计算limn?1.

n??unn1111????]?4．利用夹逼法证明：limn[.

n??(n?1)2(n?2)2(n?n)225．设x1?1,xn?1?6?xn(n?1,2,?)，证明数列{xn}极限存在. 6．设x1?1,xn?1?6?xn(n?1,2,?)，证明limxn?2.

n??

作业1.3

1．当x?0时，2x?x与x?x相比，哪一个是高阶无穷小？ 2．当x?1时，无穷小1?x和（1）1?x，（2）3．计算下列极限：

32231(1?x2)是否同阶？是否等价？ 2tan3x2x2?311?cosxsin（1）lim；（2）lim2；（3）lim；

x?0x??x?02x3x?2x(x?2x)sinxtanx?sinx. lim2x?03(1?x?1)(1?sinx?1)作业1.4

1

?x2,|x|?11．讨论函数f(x)??的连续性，若有间断点，判别其类型.

2?x,|x|?1?x?1?12．定义y(0)为何值，使函数y?在点x?0处连续？

xx? 3．已知函数y?的间断点为x?k?和x?k??（k?0,?1,?2,?）. 试判

tanx2别它们的类型. 4．已知函数y?1?sin的间断点为x?0和x?1. 试判别它们的类型，若是可去间x2?xx断点，则补充函数的定义使它连续.

1?x2nx的连续性，若有间断点，判别其类型. 5．讨论函数f(x)?limn??1?x2n作业1.5

x3?3x2?x?31．求函数f(x)?的连续区间，并求limf(x)，limf(x)及limf(x). 2x?0x??3x?2x?x?62．求下列极限：

ln(1?x2)1?tanx?1?sinx（1）lim； （2）lim.

2x?0secx?cosxx?0x1?sinx?xx?0?x?a,?3．设f(x)??ln(1?2x). 应当怎样选择数a，使得f(x)成为在(??,??)内的

,x?0??1?x?1连续函数.

x2?ax?b?6，求a,b的值. 4．已知limx?1x2?11x?15．求函数f(x)?arctan?的间断点，并判别其类型.

xln|x|【 x??1为无穷间断点，x?0为跳跃间断点，x?1为可去间断点. 】

作业1.6

1．证明方程x?3?1至少有一个根介于1和2之间. 2．证明方程sinx?x?1?0在开区间(?3)内至少有一个根. 223．若f(x)在[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，则在(a,b)内至少有一点?，使

f(x1)?f(x2)???f(xn)f(?)?.

n

?,? 2