复变函数与积分变换课程设测试题a

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复变函数与积分变换课程设测试题a

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设z=3+4i,，则Re z2=( ) A．-7

B．9 C．16

D．25

2．下列复数中，使等式1z=-z成立的是( ) A．z=e2?i

B．z=e?i

?3?C．z=e?2i

D．z=e4i

3．设0

B．z=eit+2i C．z=t+it

D．z=2cost+i3sint

4．下列区域为有界单连通区域的是( ) A．0<|z-i|<1

B．0

C．|z-3|+|z+3|<12

D．0

5．若f(z)=u+iv是复平面上的解析函数，则f?(z)=( )

A．?u??x?iu?y B．?v?y?i?v?x C．

?u??x?iv?x D．

?v?y?i?v?x ?6．设f(z)=?A,z?0??ez?1在整个复平面上解析，则常数A=( ?z,z?0 A．0 B．e-1 C．1

D．e

7．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b为( ) A．a=-1,b=1 B．a=1, b=1 C．a=-1,b=-1

D．a=1,b=-1

1

)

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8．设z为复数，则e-iz=( ) A．cosz+isinz

B．sinz+icosz

C．cosz-isinz D．sinz-icosz 9．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C上连续，则下列式子错误的是( ) ．．A．B．C．D．

?g(z)f(z)dz?g(z)?f(z)dz

Cz?Cf(z)dz???C?f(z)dz, 其中C为C的反向曲线

－

?(f(z)?g(z))dz??f(z)dz??g(z)dz

CCC?3f(z)dz?3?f(z)dz

CC10．设C为从-I到I的左半单位圆周，则A．i

?|z|dz?( )

C B．2i

C．-i D．-2i 11． 设C为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A．

??zdz Cz?1

B．z3coszdz

C?sinzC．dz

Czezdz D．

Cz?3?12．设D是单连通区域，C是D内的正向简单闭曲线，则对D内的任意解析函数f(z)恒有( )

1f(?)d?, z在C的外部 A．f(z)=

2?iC??z1f(?)d?，z在C的内部，n≥2 B．f(n)(z)=

2?iC(??z)n?1n!f(?)d?，z在C的内部，n≥2 C．f(n)(z)=

2?iC(??z)nn!f(?)d?，z在C的内部，n≥2 D．f(n)(z)=

2?iC(??z)n?1????ein13．复数列的极限lim是( )

n??nA．1+i C．1

B．? D．0

14．z=i是f(z)=

1的( ) 22(z?1)2

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A．一阶极点 C．本性奇点

B．二阶极点 D．解析点

15．映射w=2z+z2在点z0=1+i处的伸缩率为( ) A．25 C．22

B．35 D．52

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 16．arg(1+i)= .

17．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为 . 18．设f(z)=zez, 则f?(z)? .

19．设函数f(z)在单连通区域D内解析，且F(z)=f(?)d?, 其中z,0?D, 则F?(z)= .

z0??1?z20．Res?e,0?= . ????三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 21．求方程cosz=5在复平面上的全部解.

22．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数.

ze3dz. 23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=

C(z?2)3?24．设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=Rezdz.

C?1在点z=-1处展开为泰勒级数； z1(2)利用以上结果，将函数f(z)=2在点z=-1处展开为泰勒级数.

z126．求函数f(z)=的全部孤立奇点. 若为极点，则指出其阶数.

(z?1)2(ez?1)127．将函数f(z)=在圆环域1<|z|<2内展开为罗朗级数.

(z?1)(z?2)25．(1)将函数

e2z28．设f(z)=5.

z(1)计算Res[f(z),0]

(2)利用以上结果，计算积分I=

?f(z)dz, 其中C为正向圆周|z|=1.

C3

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四、综合题(下列3小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分)

z229．(1)求f(z)=4在上半平面内所有的孤立奇点，并说明它们的类型；

z?16(2)计算f(z)在上半平面内各个孤立奇点的留数；

??x2dx. (3)利用以上结果计算广义积分I=

0x4?16?30．设D为Z平面上的带形域0

(2)w2=f2(w1)把带形域0

(2)设F(p)=F[[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求F[[y?(t)].

?y??y?2cost(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ?

y(0)?0?

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