A1Y2X3?A1Y3X2?A2Y1X3?A2Y3X1?A3Y1X2?A3Y2X1z?123ZYX?Z1Y3X2?Z2Y1X3?Z2Y3X1?Z3Y1X2?Z3Y2X1； Z1A2X3?Z1A3X2?Z2A1X3?Z2A3X1?Z3A1X2?Z3A2X1y?123ZYX?Z1Y3X2?Z2Y1X3?Z2Y3X1?Z3Y1X2?Z3Y2X1； Z1Y2A3?Z1Y3A2?Z2Y1A3?Z2Y3A1?Z3Y1A2?Z3Y2A1x?123ZYX?Z1Y3X2?Z2Y1X3?Z2Y3X1?Z3Y1X2?Z3Y2X1。
通过考察这些公式，克拉默给出了一个一般性的规则，即方程的个数和未知量的个数都是n时，我们可以通过分母相同的n个分数来求的每一个未知量的值。虽然对于分子、分母的表达以及符号的确定，克莱姆本人都有一套可遵循的规则，应用起来得心应手，但是克莱姆本人没有给出这个规则一个严密的逻辑证明，而是后来柯西在1815年首次给出了克拉默法则的一个严密的证明过程。 1.4 克拉默法则命名的争议
美国数学史家波耶（Carl B. Boyer）根据一封马克劳林写给《皇家学会哲学会刊》的信推测马克劳林“知道”这一法则的时间可追溯到1729年，在1729年的这封信里，他声称自己正在写《代数论著》这本书。虽然马克劳林在信里没有提及任何关于克拉默法则的文字，但是一件为公开发表的手稿证实了Carl B. Boyer的猜测。其内容与1748年版本中的克拉默法则的形式完全一致。因此可以说，在克
拉默法则发表20年以前，马克劳林就在教他的学生学习克拉默法则了。但是为什么
又把克拉默法则归属于克拉默了呢？除了他是第一个发表的以外，还有其他原因。一是克拉默优越的符号解释了为什么马克劳林对这个法则的陈述被忽视的原因；另一方面，也许是由于欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）在他的通俗代数课本中说克拉默法则是一个“非常漂亮的法则”，这样一个非常高的评价。还有一个原因，可能是由于缪勒（Thomas Muir，1844—1934）在他著名的《行列式理论》（The Theory of Determinants in the Historical Order of Development）一书中忽视了马克劳林的贡献，把以下3个“新结果”归功于克拉默:
1）给出了一个规则，即线性方程组的未知量的值都可以用一个分数的形式来表达，并且具有相同的分母。
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2）给出了确定符号的规则，即在分子、分母中的每一项都有一个明确的符号，也就是根据指数的重排数的奇偶性来确定每一项的正负号。（对于同一项里的指数，如果一个数字接着另一个数字排列，而后面的这个数字比前面的那个数字小，那么这样的两个数字就构成了一个重排，一个指数里重排的总个数就是重排数。如Z3Y1X2的重排数是2，因为1比3小，2比3小；Z3Y2X1的重排数是3，因为1比2小，1比3小，2比3小）
3）给出了从分母的表达式中获得分子表达式的这样一个规则。遗憾的是马克劳林没能给出2）所说的正负号的确定法则。
从方法上来看，两人得出这一法则的思路基本上都是从线性方程组的求解入手，都是用线性方程组的系数来给出解的表达式，而且两人都没有用“行列式”这一名称，其实，行列式这一名词最早出现在18世纪初柯西的著作中，他还首先采用双重足标的记法把元素排成方阵，并系统化了克拉默法则以及它的证明。
克拉默法则的产生和其他多数数学知识一样，是许多数学家共同努力的结果，马克
劳林和克莱姆分别比较完整的得到了求解线性方程的这一法则，柯西严密地证明了这一法则，所以这一法则才会沿用至今。
2 克拉默法则
2.1 n元线性方程组的有关概念
在介绍克莱姆法则之前，先介绍几个概念及定理。 定义2.1[1] 一般线性方程组是指形式为
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 (1) ??????amx1?am2x2???amnxn?bm?，xn代表n个未知量，m是方程的个数，的方程组，其中x1，x2，aij(i?1,2,?,m,j?1,2,?,n)称为方程组的系数，bj(j?1,2,?,m)称为常数项。方程
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组中未知量的个数n与方程的个数m不一定相等。系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数。若bj(j?1,2,?,m)不同时为0，则方程组（1）称为非奇次线性方程组。若bj(j?1,2,?,m)同时为0，则该方程组称为奇次线性方程组。
定义2.2[1] 由n?n个数排成的n行n列，即如下形式的：
Dn?a11a21a12?a1na22?a2n????an1an2?ann
称为n级行列式，其中数aij表示位于第i行第j列的元素。在n阶行列式中,n?2时,Dn?a11A11?a12A12???a1nA1n??a1jA1j，这里，Aij?(?1)i?jMij称为元素aij的
j?1n代数余子式，Mij称为元素aij的余子式。即
a11?ai?1,1?an1?a1,j?1a1,j?1?ai?1,j?1?an,j?1?a1n Mij????ai?1,j?1???an,j?1???ai?1,n???annai?1,1?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,n
它是由Dn划去aij所在的行和列后剩下的元素按原来的位置排成的一个n?1阶行列式，当n?2时，D2?a11a21a12a22?a11a22?a21a12。
定义2.3[1] 有m?n个数排成一个m行n列，并包以方括弧（或圆括弧）的数
?a11a12?a22?a表?21????a?m1am2?a1n???a2n?称m行n列矩阵，简称m?n矩阵。矩阵通常用大写字母?????amn??A,B,?表示，记作A?aij??m?n，其中aij(i?1,2,?,m，j?1,2,?,n)陈为矩阵A的第i行第j列元素。
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?a11??a21[1] 定义2.4 矩阵A?????a?m1?a11??a21称B?(A|b)????a?m1a12a22??a1n?a2n??a12a22?am2?a1n???a2n?称为线性方程组（2—1）的系数矩阵，
?????amn??am2?amnb1??b2?称为线性方程组（2—1）的增广矩阵。 ???bm?? 定义2.5[2] 矩阵的初等行变换是指：
（1）互换矩阵中任意两行的位置（互换变换）；
（2）将矩阵的某一行的所有元素都乘以一个非零常数k(倍乘变换); （3）将矩阵的某一行的所有元素都乘以一个非零常数k后加到另一行的对应元素上（倍加变换）。
定义2.6[2] 在m?n矩阵A中，任取k行与k列（k?m,k?n），位于这些行列式交叉处处的k2个元素，保持它们原来的位置不变，组成一个k阶行列式，称为
kk矩阵A的一个k阶行列式（或k阶子式）。m?n矩阵A的k阶子式共有Cm个。 ?Cn 定义2.7[3] 设在矩阵A中一个不等于0的r阶子式D，且所有r?1阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R(A)。并规定零矩阵的秩等于0。
定义2.8[3] 满足下列2个条件的矩阵称为阶梯矩阵：
（1）首非零元（即非零行的第1个不为零的元素）的列标随着行标的递增而严格增大；
?a11a12?a1n? （2）矩阵的零行位于矩阵的最下方（或无零行）。
?a?a?a21222n?,所谓A的转置矩阵就是指矩阵 定义2.9[8] 设A??????????a11a21?am1??aa?am2mn??a??m1a?a22m2?A'??12,显然，m?n矩阵的转职是n?m矩阵。 ?????????a1na2n?anm? 定理2.1[4] （非齐次线性方程组解的存在性定理）对于非齐次线性方程组
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