测量误差与数据处理知识
（4—3）式：
?A?Sx??(xi?x)2n?1 (4-4)
注意：(4—4)式成立的条件是测量次数n＞5，置信概率约为95％或更大。物理实验课对误差处理的要求主要在于建立正确的概念，而不拘泥对某一值进行精确地计算。所以本书除开特别申明时都使用（4—4)式来计算A类不确定度。当然如果需要更为普遍的结果可采用（4—3）式并使用表l而得到。
(4-2)式中的?B称为用其它方法估计出的不确定度的B类分量。它主要与未定系统误差有关，而未定系统误差主要是由于仪器精度级别限制引起的误差，对?B进行严格计算不是本课程的任务。我们用仪器误差?仪来代替?B，这样物理量x的合成不确定度为 ??Sx??仪 (4-5) 22这样设x是直接测量得到的某物理量，x为算术平均值，应将测量结果表示为：
x?x??
或 x?x(1??x)?x(1?Ex)
即(4—6)、(4—7)式中x值只能保留一位可疑数字！但?、Ex则不严格规定只取一位有效数字，允许保留两位数字。（4-5）中当Sx＜
1?仪，或测量次数为1时有???仪。 3但要注意既使是单次测量，?A还是存在，只是不能用：(3—2)式计算而已。或说仪器的精度级别太低，不足以将随机误差反映出来。?仪一般由教师给出，或由仪器生产厂家按国家标准提供，在应急的场合也可简单取仪器最小刻度的一半作为估计值。如此处理后我们仍认为测量结果的置信概率在95％以上。 §5 间接测量结果及不确定度的合成
物理实验中大都是进行间接测量。例如用单摆测量重力加速度g时，g?4?2l， T2式中l为摆长，T为单摆周期，T、l是直接测量量，g是间接测量量。一般情况下，间接测量量的不确定度与直接测量量的不确定度有关。下面讨论它们之间的关系。设直接测量物理量x、y、z?之间互相独立，而间接测量量?是它们的函数，记为
??F（x、y、z??） (5-1) 设x、y、z的不确定度分别为?x、?y、?z??它们必然会影响?的不确定度??。由于不确定度都是小量，相当于数学中的增量。由直接测量量的不确定度求间接测量量的不确
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定度，可以借助数学中全微分的概念，只是要考虑到不确定度合成的统计性质。我们给出以下两个不确定度合成的公式，公式的推导并不难但冗长，故略去过程，只给出结论。读者如果对过程感兴趣可参考其它教材。这两式也叫不确定度的传递公式
???( 写成相对不确定度的形式
?F?F?F?x)2?(?y)2?(?z)2?L?x?y?z (5-2) ??
??(?InF?InF?InF?x)2?(?y)2?(?z)2?L?x?y?z （5-3）
(5-2)适用于和差形式的函数，(5-3)式适应于积商形式的函数。式中??F（x、y、
z?）为间接测量量的算术平均值。只要各直接测量量的置信概率大于或等于95％，则按
(5-2)、(5-3)式计算出来的间接测量量的不确度的置信概率也大于或等于95％。表2为常用函数的不确定度的合成公式。
表2 常用函数的不确定度合成公式
函 数 表 达 式 不确定度的传递公式 ??kx?my?nz ???(k?x)2?(m?y)2?(n?z)2 ???(k?xx)?(m2?yy??xy znkm?)2?(n?zz)2 ???(kEx)2?(mEy)2?(nEz)2 ??kx ???k?x,???????x?Ex x??x k??1?x1?Ex kxk??sinx ??Inx ???cosx?x ????xx 将表2中的??xyzkm?n代入(5—3)式，求得?的相对不确定度的表达式以验证 表2
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中的传递公式
xkym?xkymz?n ??nz ln??ln(xkymz?n)
?ln??x?ky?mzn?ymz?n(k)xk?1 ?x?ln?22(?x)2?(k?x)?(kE) xxx?x?x同理
((?ln??y)2?(m?yy)2?(mEy)2 y?y?y?ln??z)2?(n?zz)2?(nEz)2 z?z?z代入（5-3）式得
????(kEx)2?(mEy)2?(nEz)2
表2中??kx?my?nz和??xkymz?n，这两个函数在实验数据的误差处理中十分重要，希望读者能熟练运用它们的不确定度传递公式。
有些场合下，人们愿意用算术平均偏差(见定义7)来代替不确定度的A类分量。注意在处理随机误差时，测量次数也不能太少。用算术平均偏差处理问题运算简单一些， 特 别是对不确定度作一大致估计时还是有用的。这里我们对
?1?kx?my?nz和
xkym?2?n，也给出相应的传递公式：
z??1??F?F?F?x??y??z ?x?y?Z ?k?x?m?y?n?z
E?2???2?2??lnF?lnF?lnF?x??y??z ?x?y?Z?kEx?mEy?nEz
对于间接测量，结果表示为
??????
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或
???(1?E?)
例题1 单摆的周期、摆长与当地的重力加速度之间有函数关系：
g?4?2L 2T式中L为摆长，T为周期，g为重力加速度，式中L、T为直接测量量。试由表3的数据计算g，并分别求出L、T、g的不确定度。 §6 处理实验数据的常用方法 一、用作图法处理实验数据
某些实验是观测和研究两个或两个以上物理量之间的关系的，用作图法描述两个量之间相互依存的关系常常是很方便的。例如研究单摆摆长与周期之间的关系，二极管的电流与电压之间的关系等。从图形上不仅可以形象直观地看出一个物理量随另一个物理量的变化情况，还可以简单求出某些实验上需要的结果；可以估计出没有进行观测的点或测量范围以外的数据；还可以利用图线求出某些物理量之间的函数关系式等。
为了使图线清楚，定量地反映物理现象之间的变化规律，并能准确从图线上确定物理量值和求出有关常数，在作图时要注意遵循一定的规则：
1、作图必须用坐标纸。坐标纸可以选用毫米方格纸、半对数、对数坐标纸或极坐标纸。 2、选坐标轴。以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴的末端画上表示正方向的箭头，箭头近旁注明物理量的名称及其单位。
3、确定坐标分度。坐标分度要保证图上观察点的坐标读数的有效数字位数与实验数据的有效数字位数相同。两轴的交点不一定从零开始，要尽量使图线充满整个幅面，不要偏于一角或一边。在轴上要注明物理量名称、符号、单位。
4、描点和连线。可用削尖的铅笔在图上描点，点可用“十”、“3”、“?”等符号表示。这些符号不能太大，可使之与该量的误差大小相当。连线要光滑、细，要反映点的变化趋势，不必强行照顾某些点而使连线成折线。
5、写明图线特征。如有需要可在图上的空白位置处注明实验条件和从图上得出的某些参数，如截距、斜率、极大极小值、拐点、渐进线等。还可标出某些具有特殊意义的点。 6、写图名和图注。在图纸的下方或空白处写出图线名称及某些必要的说明。最后写上实验者姓名、日期。
二、用逐差法处理实验数据
在实际中常遇到自变量是等间距的多次测量，按平均值计算会使中间测量值彼此抵消，从而失去多次测量的意义。以拉伸法测金属丝的杨氏模量实验为例，表4是测量数据：
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