测量误差与数据处理知识
表 3
次数 1 2 3 4 5 6 7 表4
次 数 0 1 2 3 4 5 6 7
解 L?L??仪?135.50?0.3(mm)
钢丝负荷（kg） 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 钢丝伸长量（cm） 0.11 0.42 0.73 1.04 1.38 1.68 1.95 2.35 逐次相减值（cm） L(mm) 1350.5 T(s) 2.319 2.331 2.342 2.309 2.336 2.324 2.351 备 注 (1) 用钢卷尺测L，作单次测量，钢卷尺不确定度?仪?0.3mm。 (2) 用机械秒表测T，表中的每一T值是对100个周期求平均而得，不计秒表的?仪。 L1?L0?0.31 L2?L1?0.31 L3?L2?0.31 L4?L3?0.34 L5?L4?0.30 L6?L5?0.27 L7?L6?0.40 T???(T)ii?177
2.319?2.331?2.342?2.309?23.336?2.324?2.351
7?2.332(s)
ST??(Ti?17i?T)2?0.014?0.01(s)
7?1这里T的偏差出现在小数点后第二位，故T?2.332(s)中的最后一位为无效位，应4舍5入，由有效数字的规定周期T应表示为（取ST作为?T）
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T?T??T?2.33?0.01(s)
用（1－5—3）式可以方便地求得g的不确定度
Eg??gg?(?LL)2?4(?TT )2
?&4?10?8?4?2?10?5?&9?10?3g?4?2L?2?9.82(ms) 2(T)?g?gEg?0.09(ms?2)
∴ g?g??g?(9.82?0.09)(ms?2) 此题也可表示为：
?g?g(1??gg)?(9.82(1?9?10?3)(ms?2)
此例是一个处理数据的典型例题，望好好体会。 用逐次相减求伸长量的平均值：
11?L?[(L1?L0)?(L2?L1)?L?(L7?L6)]?(L7?L0)
77其效果与L2?L0是一样的，所以通常的方法不适应。下面介绍逐差法，有一次逐差和二 次逐差法，我们只介绍一次逐差法。逐差法的适应条件是自变量等距变化，自变量的不确定度远小于因变量的不确定。下面结合表4进行讨论：
将测量数据分成高低两组：例如将表4中数据按L0、L1、L2、L3和L4、L5、L6、L7成两组，将两组的对应项相减：
L4?L0?1.38?0.11?1.27?10?2?LI L5?L1?1.64?0.42?1.22?10?2?LII
L6?L2?1.95?0.73?1.22?10?2?LIIIL7?L3?2.35?1.04?1.31?10?LIV从而有
?2
L?1(LI?LII?LIII?LIV)?1.26?10?2(m) 4对于此钢丝伸长量L，若测量时系统误差很小，可用标准偏差SL来大概估算其不确定度?L
(LI?L)?(LII?L)2?(LIII?L)2?(LIV?L)2?L?SL??0.04?10?2(m)
4?116
2测量误差与数据处理知识
由于对L只相当于测4次，置信概率没有达到95%，故只是一个大体估计值。 三、实验数据的直线拟合
作图法处理实验数据时，往往不如用函数表示来的明确，持别是根据图线定常数时，常常会出现较大的误差，而且在同一数据下由不同的人作图时往往得到不同的结果；所以我们希望从实验数据求出经验方程，这也称为方程的回归问题。这里只讨论一元线性回归。 方程的回归问题先要确定函数的形式，而函数形式一般是根据理论的推断或从实验数据的变化趋势推测出来。如函数关系为线性时，可将方程表示为：
如果函数关系为指数时：
函数关系难以确定时常用多项式表示：
y?a?bx
(6-1)
y?aebx
(6-2)
y?a0?a1x?a2x2?L?anx2
(6-3)
下面就线性函数式(6—1)用最小二乘法原理进行讨论。
在某一实验中，设可控制的物理量取x1、x2、??、xn值，与之对应的物理量为y1、
y2、??yn值。为简便，假定xi值的测量误差很小，误差主要出现在yi值上。显然从xi、
yi中任取两组数据就可以得出一条直线。但这条直线可能有较大的误差。如何用分析的方
法从这些测量数据中得到一个最佳的经验公式y?a?bx，就是直线拟合的任务。对于每一个xi值，测量值yi与最佳经验公式y值之间存在一偏差?yi
?yi?yi?y?yi?(a?bxi) (i?1,2,L,n)
最小二乘法的原理为：如各测量值yi的误差互相独立且服从同一正态分布。当yi的偏差的平方和为最小时，将得到最佳经验公式。用这一原理可求出式(6一1)中的常数a、b，用s表示?yi的平方和
S??(?yi)2??[yi?(a?bxi)]2
（6-4）
为求式(6—4)的极小值，分别对a、b求偏微分并令其为零：
?s??2?(yi?a?bxi)?0 ?a?s??2?(yi?a?bxi)xi?0
?b12以x、y、xy、x分别表示各量的算术平均值(如xy??xiyi)，整理后可得
n
a?y?bx
（6-5）
b?x?y?xyx?x22 （6-6）
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测量误差与数据处理知识
将得出的a、b值代入(6—1)式便得到了最佳的经验公式y?a?bx。
上面介绍的直线拟合法在科学实验中应用很广。对一些指数函数关系通过取对数变换后，也可化成直线形式的函数，这样也可以用直线拟合法进行处理。用式〔6—5〕、(6—6)式得到的a、b值是最佳值，但并不是没有误差。直线拟合中的误差估计较复杂，不在这里介绍。一般地说，一列测量值的?yi大(即实验点对直线偏离大)，那么由这列测量值计算的a、b值误差就大。反之亦然。
下面讨论实验数据的直线拟合中相关系数的问题，一元线性回归的相关系数定义为：
r?2xy?x?y(x?x)(y?y)222
?1?r?1，可以证明，当x与y完全不相关时r＝0；当xi、yi全都在回归直线上时，r?1。r值越接近1，说明实验数据越集中在回归直线附近。此时用线性回归处理实验数据比较合理。反之若r值远小于1，说明实验数据对求得的直线很分散，这时用线性回归就不合适，必须采用其它函数进行试探。用线性回归处理数据都要求进行相关性检验，一般为r＞0．9就认为两个物理量相关性良好。有些计算器上有直接计算r和a、b的功能，用起来很方便。
习 题
1、 指出下列各数是几位有效数字。
(1)0.002 (2)1.002 (3) 1.00 (4)981.120 (5)500 (6)3810 (7)0.001350 (8)1.6310 (9)π
2、 某一长度的测量数据为l?3.58mm，试用cm、m、?、、km、?m为单位表示结果。 3、 用有效数字运算规则求以下结果
(1)57.34-3.574 (2)6.245+10l
4
-3
(3)403=2.5310 (4)4.06310-175 (5)35723π (6)4.14330.150 (7)363103 0.175 (8)2.635326 (9)24.3÷0.1 (10) 8.0421 6.038-6.034
4、 确定下列各结果的有效数字位数。
3
2
33
(1) sin31?1? (2) cos48?6? (3) 3278 (4) 3180.6
(5) log1.984 (6) In4562
5、 以下是一组测量数据，单位为mm，请用函数计算器计算算术平均值与标准偏差：
12.314，12.321，12.317，12.330，12.309，12.328，12.331，12.320，12.318 6、 用精密天平称一物体的质量，共称10次其结果为：mi?3.6127，3.6125，3.6122， 3.6121，3.6120，3.6126，3.6125，3.6123，3.6124，3.6124克，试计算m的算术平均值
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