2012上海市浦东新区高三数学二模理

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?322b，x1x2?3b42，

?????????????设M(x,y)，由OM??OA??OB得，

x??x1??x2，y??y1??y2，

∵点M在椭圆上，

∴(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2，

222整理得：?2(x12?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b，

x1x2?3y1y2?x1x?3(2x?12)b(?x22b)?41x?x232b(?x122?x) 6 ?③，b 0

222 又点A,B在椭圆上，故x12?3y12?3b2 ④，x2?3y2?3b ⑤，

[来源学§科§网Z§X§X§K] 由③④⑤式得?2??2?1.

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

记数列?an???n?n??*的前n项和为Sn．已知向量a??cos?sin,1?（n?N）和

33??????n?n??*b??an,cos?sin?（n?N）满足a//b.

33??（1）求数列?an?的通项公式； （2）求S3n；

n（3）设bn?2an，求数列?bn?的前n项的和为Tn．

??【解答】（1）∵a//b

∴an=?cos??n?3?sin2n???3?n?3n?n???cos?sin??

33??=cos=cos2n?3?sin

2n?33 ；

12,??∴an?cos（2）数列

2n??an?:?12,1,?12,?12,1,?为周期为3的周期数列且

a3k?2?a3k?1?a3k?0?k?N?.

S3n?a1?a2???an3

??a1?a2?a3???a4?a5?a6?????a3n?2?a3n?1?a3n?

?11??n????1??0.

?22?（3）bn?2nan?2ncos2n?3.

当n?3k?k?N??时， ∵ b3k?2?b3k?1?b3k?23k?2????1?1?3k?1?3k3k?3?2?. ????2?1?5?22??2? ∴ Tn?T3k?5?1?23???23k?3??当n?3k?1?k?N??时， Tn?T3k?1?T3k?b3k?57?2753k?1???27?55n?1?.

?23k?1??23k?1??23k?17??2n?2?57.

当n?3k?2?k?N??时， Tn?T3k?2?T3k?1?b3k?1???5n?7?2?1?,?n?2?5?2故Tn???,7??2n?5,??7?23k?1?57?23k?12?1????????2?3k?2?57??2?57n.

?n?3k?,?n?3k?1?,?k?N??. ?n?3k?2?,23、（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知函数y?f(x),x?D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f(x?T)?m?f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数，周期为T.若恒有f(x?T)?m?f(x)成立，则称函数f(x)是D上的m级类周期函数，周期为T.

（1）已知函数f(x)??x?ax是?3,???上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的

2取值范围；

（2）已知 T?1，y?f(x)是?0,???上m级类周期函数，且y?f(x)是?0,???上的单调递增函数，当x??0,1?时，f(x)?2，求实数m的取值范围；

x（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.

（Ⅰ）已知当x??0,4?时，函数f(x)?x?4x，若f(x)是?0,???上周期为4的m级

2类周期函数，且y?f(x)的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f(x)?coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由. 【解答】（1）由题意可知： f(x?1)?2f(x)，

即?(x?1)2?a(x?1)?2(?x2?ax)对一切?3,???恒成立， ?x?1?a?x2?2x?1， ∵x?3

x?2x?1x?12∴a???x?1?2x?1?2??x?1??2x?1，

令x?1?t，则t??2,???，

g(t)?t?2t在?2,???上单调递增，

∴g(t)min?g(2)?1， ∴a?1.

（2）∵x??0,1?时，f(x)?2x，

∴当x??1,2?时，f(x)?mf(x?1)?m?2x?1，

当x??n,n?1?时，f(x)?mf(x?1)?m2f(x?2)???mnf(x?n)?mn?2x?n， 即x??n,n?1?时，f(x)?mn?2x?n，n?N*， ∵f(x)在?0,???上单调递增， ∴m?0且mn?2n?n?mn?1?2n??n?1?， 即m?2.

[来源学&科&网]

（3）问题（Ⅰ）∵当x??0,4?时，y???4,0?，且有f(x?4)?mf(x)， ∴当x??4n,4n?4?,n?Z时，

nnf(x)?mf(x?4)???mf(x?4n)?m?x?4n??4?x?4n?，

2??当0?m?1时，f(x)???4,0?； 当?1?m?0时，f(x)???4,?4m?；当m??1时，f(x)???4,4?； 当m?1时，f(x)????,0?； 当m??1时，f(x)????,???； 综上可知：?1?m?0或0?m?1.

问题（Ⅱ）：由已知，有f(x?T)?Tf(x)对一切实数x恒成立， 即cosk(x?T)?Tcoskx对一切实数恒成立， 当k?0时，T?1；

当k?0时， ∵x?R，∴kx?R,kx?kT?R，于是coskx???1,1?， 又∵cos(kx?kT)???1,1?，

故要使cosk(x?T)?Tcoskx恒成立，只有T??1，

当T?1时，cos(kx?k)?coskx 得到 k?2n?，n?Z且n?0； 当T??1时，cos(kx?k)??coskx 得到 ?k?2n???， 即k?(2n?1)?，n?Z；

综上可知：当T?1时，k?2n?，n?Z；

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当T??1时，k?(2n?1)?，n?Z。