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10--4．图示中实线表示t=0时的波形图，虚线表示t=0.1秒时的波形图。由图可知该波的角频率??2.5?s?1；周期T?0.8 s； 波速u?0.2 m/s；
25?2y/cm3.010波函数为y?0.03cos(2.5?t?x??2o)
420x/cm【提示：注意图中标的是厘米，图中可见波长为16厘米，可求出波数k?厘米，可求出波速u?0.2，利用u?25?2；0.1秒波形向右跑了2
?k知??2.5?，T?0.8；初相位看O位置，O位置在t=0和t=0.1
秒时间内从平衡位置向下振动，旋转矢量初相位是???】
210-10．一周期为0.02秒，波速为100m/s的平面简谐波沿ox轴正向传播，t?0时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，则其波动方程为 ，距离波源15m处的M点的振动方程为 ，距离波源5m处的N点的振动方程为 。
2???100?，利用k?【提示：∵ T?0.02，∴??知波数k??，由旋转矢量法知初相位
Tu????2，故波动方程为y?Acos(100?t??x??2)；将x?15代入，有yM?Acos(100?t??2)，
将x?5代入，有yN?Acos(100?t??2)】
4．一平面简谐波的周期为2.0s，在波的传播路径上有相距为2.0cm的M、N两点，如果N
点的相位比M点相位落后?/6，那么该波的波长为 ，波速为 。
【提示：利用比例： ?:2??0.02:?6∴??0.24m，利用u??T知u?0.242?0.12m/s】
5．处于原点（x=0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为y?Acos(Bt?Cx)，其中A、B、C皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。
【提示：以波的标准方程y?Acos(?t?kx??)比较，有u??k?BC，T?2???2?B，
??2?k?2?C， ?l??0??lC，∴落后lC，此质元的初相位为?lC】
6．一驻波的表达式为y?2Acos(2?x?)cos2??t，两个相邻的波腹之间的距离为 。
【提示：书中P67页，驻波相邻两波腹之间的距离为半个波长，即为?/2】
机械波部分-5
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7．一驻波方程为y?4?10?2cos2?xcos400t（SI制），在x=1/6（m）处的一质元的振幅为 ，振动速度的表达式为 。
【提示：将x=1/6代入方程，有y?2?10?2cos400t，有振幅为2?10?2m，将驻波方程对t求导，有
dydt??16cos2?xsin400t，将x=1/6代入有：???8sin400t（或??8cos(400t??2)】
P69例．一列平面简谐波沿x正方向传播， 波方程为y?10?3cos(200? t??x)（SI制）。 如果在上述波的波线上x?L（L?2.25m）
OyAL?2.25mx的A处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅与入射波相等，则反射波的方程为 ；驻波方程为 。
【提示：将x?2.25代入波方程，有简谐波正方向传播到A处的振动方程为yA?10?3cos(200?t?考虑到反射波有半波损失，则反射波在A处的振动方程为yfA?10?3cos(200?t?点的反射波方程为yfA?10?3cos(200?t??x??4)，
3?4)，则以A处为原
3?4)；将x??2.25代入反射波方程，有反射波在O
处的振动方程为yfO?10?3cos(200?t??2则反射波波动方程为yf?10?3cos(200?t??x?)，
?2)；
驻波方程为y?y??yf，有y?2?10?3cos(?x??4)cos(200?t??4)】
10-30．两艘潜艇相向而行，甲潜艇速度为50km/h，发出一个103Hz的音频信号，乙潜艇的速度为70km/h，若声音在水中的传播速度为5470 km/h，则乙潜艇接收的音频频率为 ，甲潜艇接收的从乙潜艇反射回来的音频频率为 。
甲乙50km/h70km/hu??0u??s（1）取u?5470，?。
【提示：本题是波源与观察者同时相对介质运动的问题。利用公式?'??s?50，?0?70，相向运动取?'?u??0u??s?，有?'?55405420（2）反射回来的音?10?1022Hz。
3频频率为?'?1022Hz，取u?5470，?s?70，?0?50，相向运动取?''?u??0u??s?'，有
?''?55205400】 ?1022?1045Hz。
机械波部分-6
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三、计算题
P53例2．一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s沿x轴负方向传播，已知a点的振动表达式为ya?3cos4?t（SI制）。
（1）以a为坐标原点写出波动表达式；
（2）以距a点5m处的b点为坐标原点，写出波动表达式。 解：（1）∵a点的振动表达式为ya?3cos4?t，
波动表达式为：y?Acos(?t?kx??)，考虑到波沿x轴负方向传播， ∴以a为坐标原点的波动表达式可写成y?3cos(4?t?kx) 利用波数k??ub5m?ua，得k?4?20?5?，有以a为坐标原点的波动表达式：y?3cos(4?t??5 x)；
（2）将x??5代入上式，有b点的振动表达式为yb?3cos(4?t??)， 则以b为坐标原点的波动表达式可写成y?3cos(4?t?kx??) 将k??5代入，有以b为坐标原点的波动表达式y?3cos(4?t??5x??)。
10-8．波源作简谐运动，其运动方程为y?4.0?10?3cos240?t，采用国际单位制，它所形成的波以30m/s的速度沿一直线传播。（1）求波的周期与波长；（2）写出波动方程。 解：（1）周期T?2??2?240??1120s，波长??uT?30?1120?3??14m；
（2）设直线传播方向为x正向，波动表达式可写成y?4?10利用波数k??ucos(240?t?kx)
?3，得k?240?30?8?，则波动方程：y?4?10cos(240?t?8?x)。
10-9．波源作简谐运动，其运动方程为y?0.05sin(10?t?2x)，采用国际单位制。（1）求波的波长、频率、波速与周期；（2）说明x?0时方程的意义，并作图表示。
?解：波动方程可改写成标准式：y?0.05cos(10?t?2x?)。
2（1）波长??2?k??，频率???2??5Hz，波速u??k?5?，周期T?1??0.2s；
（2）将x?0代入波动方程，有yO?0.05cos(10?t?【注：波源的振动方程也可 以写成yO?0.05sin10?t】
机械波部分-7
y(m)0.05?2)，为波源的振动方程。图像：
Ox(m)0.10.20.3合肥学院《大学物理Ⅰ》自主学习材料
10-12．图示为平面简谐波在t?0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中P点的运动方向向上。求：（1）波动方程；（2）在距离原点为7.5米处质点的振动方程与t?0y(m)时该点的振动速度。
0.1解：（1）波动方程的标准式为：
y?Acos(?t?kx??)。
O0.05Px(m)10m图中可见A?0.1m，
圆频率??2???500?，波数k?2???0.1?10?，（图中可见，波长??10m）
?10根据P点的运动方向向上，知简谐波沿x负方向传播，有：y?0.1cos(500?t?不难看出，t?0时原点处质元向y轴负方向运动，由旋转矢量法知??∴波动方程为y?0.1cos(500?t??10x? x??)，
?3，
?3)；
13?12)，为振动方程；
（2）将x?7.5代入波动方程，有y7.5?0.1cos(500?t?dy7.5dt??50?sin(500?t?13?12)，有???50?sin13?12t?0?50?sin?12。
10-13．图示为平面简谐波在t?0时的波形图。求：（1）此波的波动方程；（2）图中P点的
运动方程。
y(m)u?0.08m/s解：（1）波动方程的标准式为：
y?Acos(?t?kx??)。
OP0.20.40.6x(m)图中可见A?0.04m， 波数k?2??0.04??5?，（波长??0.4m）
5?2圆频率??ku?5??0.08?，
?2不难看出，t?0时原点处质元向y轴正方向运动，由旋转矢量法知???∴波动方程为y?0.04cos(2?5t?5?x?，
?2)；
2?5t?3?2)，
（2）将x?0.2代入波动方程，有yP?0.04cos(即yP?0.04cos(2?5t??2)。为P点的振动方程。
10-14．一平面简谐波，波长为12m，沿x轴负向传播，图示为x?1.0m处质点的振动曲线，求此波的波动方程。 解：（1）波动方程的标准式为：
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y/my?Acos(?t?kx??)。
0.40.2O5.0t/s中可见A?0.4m，
参看旋转矢量图，利用比例可求出周期T：
T:2??5:5?6T，有：T?12s
?∴圆频率??2??6，波数k?2????6，
?6t?t?根据波沿x轴负向传播写出简谐波波动方程为：y?0.4cos(将x?1m代入波动方程，有该处的振动方程y1?0.4cos(t?0时，y1?0.2，有：(?6x??)，
?6?6??)，
??6??)???3 ?2由旋转矢量图，知(?6??)???3，则????6t?， ?2)
0.20.4∴简谐波波动方程为：y?0.4cos(?6x?10-15．一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形如图所示。（假设周期T?0.25s）试求
（1）此波的波动表达式； （2）P点的振动表达式。 解：（1）A?0.2m，??0.6m， u?T??x?t??0.150.25?0.6(m/s)，
y(m)0.2ot1?0x(m)P?0.20.45t2?0.25s?u0.60.6?1(s)；
2?0.6?10?3∴??2?，k?，则波动表达式为y?0.2cos(2?t?10?3x??)
由t=0和t=0.25时的波形图，得：y0|t?0?Acos??0，v0|t?0??A?sin??0，??有波动表达式为：y?0.2cos(2?t?10?3x??2
?2)
（2）由图可见，P点距原点0.3m，将x?0.3m代入上式有： yP?0.2cos(2?t?10?3?0.3??2)?0.2cos(2?t??2)
即P点的振动表达式为：yP?0.2cos(2?t?
?2)。
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