求证：在?a,b?内至少存在一点u，使得f'?u??f?u??u?1。
三、（10分）设D:y2?x2?4,y?x,x?y?2,x?y?4.在D的边界y?x上任意取点P，
设P到原点的距离为t，作PQ垂直于y?x交D的边界y2?x2?4于Q。
求：1）将P,Q的距离PQ用t表示；2）将D绕y?x旋转一周所得立体的体积。 四、（10分）设f?x?在???,???上有定义，f?x?在x?0处连续，且对一切实数x1,x2有
f?x1?x2??f?x1??f?x2?，求证：f?x?在???,???上处处连续。 五、（10分）设k为常数，方程kx?1?1?0在?0,???上恰有一根，求k的取值范围。 x六、（10分）设f?x,y?可微，f?1,2??1,fx?1,2??2,fy?1,2??3,
??x??f?f?x,2x?,2f?x,2x??；求?'?1?
2?七、（10分）求?d??????1?ed?
2??2022002第六届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题
一、填空题（每小题5分，共40分）
ex?e1.设limx?0xkx?c(c?0），则k?_____,c?____.
2.设f(x)在[1,+?)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若limf?(x)?0,则f(x)在[1,+?)上有界x?+?B. 若limf?(x)?0,则f(x)在[1,+?)上无界x?+?
C. 若 limf?(x)=1,则f(x)在[1,+?)上无界x?+?3.设由e?y?x(y?x)?1?x确定y=y(x),则y?(0)?_______.
4.?(arcsinx?arccosx)dx?____________.
5.???41dx?________________.
x(1?x)y?2zx6.z?f()?g(e,siny),f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，则?______________.x?x?y7.交换积分次序?dx?2f(x,y)dy?____________.
0x13?x 5
8.函数f(x,y)=2x-y+1满足方程x2?y2?5的条件极大值为____,条件极小值为____.二、（8
+?）上连续且单调减少，0?a?b，证明：分）设f(x)在[0，aa?ba(f)x?d?x0b( )fx.dx三、（9分）
设f(x)=kx+sinx. (1)若k?1，求证：f(x)在（-?，+?）上恰有一个零点;
(2)若0 1?cosx1?yarctan,(x,y)?(0,0)?22五、（9分）设f(x,y)??，试讨论f(x,y)在点(0,0)处的x?y?0,(x,y)?(0,0)?连续性、可偏导性与可微性。 六、（8分） d2z设z?f(x,y),x??（y),f的二阶偏导数连续，?可导，?（y????求全导数2. dx七、（9）设f(u)在u=0可导，f(0)=0,D:x?y?2tx,y?0,求lim221t?0?t4??f(D x2?y2)ydxdy。 八、（9分）求 ??|sin(x?y)|dxdy,D:x?0,y?0,x?y?D?2. 2000第五届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 已知 d1[f(x3)]?，则f?(x)?______________. dxx1lnxx)2. lim(tan?x?0?______________. 3. ?x1x?12dx?_______________. 4. 设z?z(x,y)由方程F?x?y,y?z,z?x??0所确定，F为可微函数，则 ?z?z?? ； ?x?y5. ??a?a[f(x)?f(?x)]sinxdx?________________. 6 二、选择题（每小题3分，共15分） e2x?11.函数f(x)?的可去间断点为( ) x(x?1)A、x?0,1 2. 改变积分次序A、C、 1B、x?1 C、x?0 D、无可去间断点 ?dy?01?yy2?1f(x,y)dx?( ) 01?x?10??1?11dx?1?x?1?x1?xf(x,y)dy B、?dx?f(x,y)dy D、?dx??11f(x,y)dy??dx?011?x0f(x,y)dy 0dx?1?x1?x?1?xf(x,y)dy 3.设f(x)可导, F(x)?f(x)(1?sinx)，欲使F(x)在x?0处可导，则必有( ) A、f?(0)?0 B、 f(0)?0 C、 f(0)?f?(0)?0 D、 f(0)?f?(0)?0 4.若 ?f?x(x0,y0),?f?y(x0,y0)都存在，则f(x,y)在?x0,y0?是( ) A、连续且可微 B、连续但不一定可微 C、可微但不一定连续 D、不一定可微也不一定连续 5. f(x,y)?e(x?y?2y)在点?,?1?处取( ) 2x2?1?2??ee B、极小值? 22C、不取得极值 D、极小值e A、极大值? 三、（8分）设limx?0ln(1?x)?(ax?bx2)?x20etdt2????edx，求常数a,b。 2x(lnx)四、（6分）设z?(1?xy)，求dz(1,1)。 五、（6分）设f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且对于(a,b)内的一切x均有 yf?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，证明：若f(x)在(a,b)内有两个零点，则介于这两个零点之间，g(x)至少有一个零点。 六、（6分）计算二重积分 2|y?x|dxdy，其中积分区域D:x?1,0?y?2. ??D2七、（8分）过抛物线y?x上一点(a,a)作切线，问a为何值时所作切线与抛物线 2 7 y??x2?4x?1所围成的图面积最小？ 八、（6分）当x?0时，F(x)?九、（8分）计算 ?x0(x2?t2)f?(t)dt的导数与x2为等价无穷小，求f?(0)。 dx。 ???021(1?x)(1?x)2十、（8分）求两直线??y?2x?y?x?3和?之间的最短的距离。 ?z?x?1?z?xx5?xdx。 十一、（6分）求?8x?1十二、（8分）设f(x)在(??,??)上连续，且满足 f(t)?2x2?y2?t2??(x2?y2)f(x2?y2)dxdy?t4，求f(x)。 1998第四届高等数学（本科三级、民办本科）竞赛题 一、填空题（每小题5分，共40分） 1. limx?01?x?1?x?21?x2?____________ 222. 函数f(x)=x?3x?2x?x的不可导点的个数为___________. ???1?x2,x?03?3.设f(x)=?1 ,则?f(x?2)dx=_______________. 1,x??0?2?1?x4.(本三考生做)设变量x,y,t满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f，F的一阶偏导数连续，则 dy=_______________. dx (专科考生做)设f(x)的导数连续，且f（0）=0，则lim11f(xt)dt?________ x?0x?05（本三考生做）已知直线l过点M（1，-1，0）且与两条直线l1：??2x?z?1和 x?y?3z?5??x??2?t,?l2:?y?1?4t,垂直，则l的参数方程为_______________________. ?z?3?6. ?lnxdx?_____________________. 8
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