即为所求作的正方形，如上面右图所示，（2）在该图中，不妨设AB=a，由题意可知：
5?13?55?1BC=a，FC=a，则FC：BC=，按照黄金矩形的定义可知四边形EBCF
222是黄金矩形。（3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作一个正方形，则由此在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形。
8、“黄金分割”考题透视
黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容，考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题。下面举例予以说明。
一、利用黄金分割比进行有关的计算
例1 已知线段AB＝4，点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，求下列各式的值：（1）AC－BC；（2）AC?BC。
5?1
分析：本题主要利用线段的黄金比进行有关计算。
2
图1
AC5?15?1 解：（1）因为AB＝4，C为AB的黄金分割点，所以，所以AC＝?ABAB22＝25?2。
所以AC－BC＝AC－（AB－AC）＝2AC－AB＝2(25?2）?4?45?8 。 （2）因为BC＝AB－AC＝4－（25?2）＝6－25。 所以AC?BC＝（25?2）（6－25）＝165－32。 二、推理题
例2 如图2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，设以AP为边长的正方形的面积为S1，以BP和AB长为边的矩形的面积为S2，试比较S1与S2的大小。 分析：根据点P是线段AB的黄金分割点，抓住APPB?这个定义关系式即可判断S1与S2的大小。 ABAPAPPB?解：因为P是线段AB的黄金分割点，所以，即ABAP2AP?AB?BP,
又S1?AP2,S2?AB?BP，所以S1?S2。
图2
例3 如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝
说明点5?1,?A?360，BD平分∠ABC，交AC于点D，试
D是线段AC的黄金分割点。
分析：本题可先判别AD＝BD＝BC＝5?1，再根据黄金分割的概念确定这个特征的比值，即可判定点D是线段AC的黄金分割点。
解：在△ABC中，因为AB?AC,?A?360，所以?ABC??C?720。 因为BD平分∠ABC，所以?1??2?360，所以∠1＝∠A，所以AD＝BD。
图3
所以∠BDC＝∠1＋∠A＝720，所以∠BDC＝∠C，从而有BC＝BD＝AD＝5?1。
所以
AD5?1，即点D为线段AC的黄金分割点。 ?AC29、“比例线段”变式多多
同学们初学线段的的比时有些不适应，为此学习时应治意以下问题： 一、明确线段比的含义
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线
amab=mn段的长是∶∶或写成?，和数的比一样，两条线段的比a∶b中，a叫做比
bn的前项，b叫做比的后项。
注意：∶（1）针对两条线段（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关，（3）其比值为一个不带单位的数。 二、弄清线段成比例及有关概念的意义
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段
ac叫做成比例的线段，简称比例线段，己知四条线段a，b，c，d，如果?或a∶b=c∶
bdd，那么a，b，c，d叫做成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项。
三、掌握比例的基本性质
如果a∶b=c∶d，那么ad=bc，反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d。 特别地，如果a∶b=b∶c，那么b2＝ac，反之，b2=ac，那么a∶b=b∶c。
要注意灵活运用比例线段的多种不同的变化形式，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc的基本性质不变。具体有八种不同的表达形式：
ac（1）若ad=bc，则?
bddc（2）若ad=bc，根据乘法的交换律，可得da=bc，因此?实际上交换了1中两个外
ba项的位置）
ab（3）若ad=bc，则ad=cd，因此?（这里交换了1中两个内项的位置）
cddb4ad=bcda=cb（）若，则，因此?（这里交换了1中两个内项和外项的位置）
cabd（5）若ad=bc，则bc=ad，因此?（这里把等式ad=bc的左边和右边交换了位置，
ac也可以看作是同时交换了1中两个比的前项和后项的位置） 仿照上面的方法，由（5）又可以得到下列三个式子：
cd（6）若bc=ad，则cb=ad，因此?
abba（7）若bc=ad，则bc=da因此?
dcca? db四、学会运用比例线段解决实际问题
在比例尺为1∶900000的江西黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4cm，这两地的实际距离是（）
A．2250厘米 B．3.6千米 C．2.25千米 D．36千米
析解：根据比例尺的定义，设黄山风景区与市政府所在地之间的距离为xcm，（应与图
14? 上距离单位相同）则
900000x解得x=3600000厘米=36千米．故应选D
五、学会创新
例2．有三条线段，它们的长分别为a=1cm，b=2cm和c=2cm请再添上一条线段x，使这四条线段a，b，c，x为比例线段，请问线段x该有多长？ 解：这是一道多种答案的开放性创新题
acbc2?2如果是?那么x???22（cm）
bxa1ac1?2ax??2（cm） 如果是?那么x?bbc2cbab1?22如果是?那么x?（cm） ??axc22（8）若bc=ad，则cb=da因此
答：线段x长为22cm或2cm或
2cm 210、证明比例线段方法多多
证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种． 一、利用相似三角形
例1．如图1，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC
AFBE?于E、F，求证：。 ADBD
图1
【分析】AF、AD与BE、BD分别在△ADF和△BED中，只要能证明△ADF∽△BED就行了．
证明：∵∠B＝∠DAC，∠BDE＋∠ADE＝90°＝∠ADE＋∠ADF， ∴ ∠BDE＝∠ADF，∴△ADF∽△BED，
AFBE?∴． ADBD【点评】当要证的比例线段在两个三角形中，且可证这两个三角形相似，可利用此法． 二、利用中间比
例2．如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点E，BF∥CD交CA的延长线于点F．求证：EF·AD＝EC·BC．
【分析】由AD∥BC，得△ADE∽△CBE，由BF∥CD，得△BEF∽△DEC，从而得到
ADDEDEEC?成比例线段＝，，由此易证到结论。
BCBEBEEFF证明：∵ AD∥BC，∴ △ADE∽△CBE，
ADDEA?∴ ； DBCBE又∵ BF∥CD， ∴ △BEF∽△DEC， EDEECCB?∴ ． BEEFADEC?∴ ，∴ EF·AD＝EC·BC． BCEFDE【点评】本题利用了中间比（）进行过渡，证明比例式，进而得到等积式，这是在
BE解题中经常使用的一种方法。 三、利用等线段进行代换
例3．如图3，已知：正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP
BDAP?交CD于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q，求证：。 CDBQ A D P O Q B C 图2
【分析】BD、CD和AP、BQ不能构成两个三角形，但根据正方形的性质有BD＝AC，
BQ＝DQ，可证△ACP∽△DCQ． 证明：?ABCD为正方形，
∴ BD＝AC，且AC、BD互相垂直平分， ∴ BQ＝DQ，
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