黄金分割及比例线段

因AP平分∠DAC，DQ平分∠BDC，

1111∴ ∠CAP＝∠DAC＝∠BAD＝∠ADC＝∠CDB＝∠CDQ，

2442又∠ACP＝∠DCQ，∴△ACP∽△DCQ．

BDAPACAP??∴， ∴．

CDBQCDDQ【点评】当需证的比例线段不在两个三角形中，或虽然在两个三角形中但不相似时，可由已知条件寻找与比例式中某些线段相等的线段作等量代换后，再寻找相似三角形去证明。

11、巧用面积比来证线段比

运用三角形的面积比证明线段成比例问题，别开生面，且能开阔我们的视野，培养创新思维能力．

这种方法的理论根据是：

①“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底之比”，基本图形如图1；

图1

在图1（1）中，

∵△ABD与△ADC的底BD与CD上的高相同，

BDS∴???D＝．

DCS?ADC

在图1（2）中直线l1∥l2，∴△ABC与△BDC的底AB与CD上的高相等， ABS∴ ???C＝．

DCS??CD②“同底（或等底）的两个三角形的面积比等于对应高之比”，你来画画基本图形；

运用三角形的面积比证明线段成比例，其基本思路是运用上述理论依据由面积比建立线段比，现举例如下：

ADAE 例1．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，求证：＝．

DBEC 证明：如图2，连结BE、CD，

?S?ADESADAE?，??DE?。S??DEDBS?CDEECADAE?。DBEC 又?DE//BC，S??DE?S?CDE，

? A D E B C 图2

求证：

ACBE?。 AFEF

例2． 已知：如图3，AD是???C的中线，过点B的直线与AD相交于E，与AC相交于F，

A F E B D C 图3

证明：连结CE， SACS?ABEBE Q?ACE?，?。S?AEFAFS?AEFEFQBD?CD，

?S?ABD?S?ACD，S?BDE?S?CDE?S?ABE?S?ACE S?ACES?ABEACBE

?? ?? S?AEFS?AEFAFEF

AB?AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K， 例3 △ABC中，

求证：AB?3AK

证明：如图4，连结DK，

?AB?AC,AD为BC边上的高，?BD?CD，又AM?DM， ?S?AMK?S?DMK，S?AMC?S?DMC，S?KDB?S?KDC

?S?ACK?S?KDC?S?KDB，SAK1??ACK??，?AB?3AK。S?ABCAB3

A K M B D C 图4

例4 过???C的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证： AE：ED?2AF：BF。 证明：如图5

S?AECS?AEFAE??，S?DECS?DEFED

S?AEC?S?AEFS?ACFAE??，S?DCE?S?DEFS?DCFED又?BD?DC，?S?DBF?S?DCF，SSSAF2AF，即?ACF?， ??ACF??ACF?S?BCF2S?DCFFBS?DCFFBAE2AF??，即AE：ED?2AF：FB。EDFB?

A F E D D C

图5

对于线段比是同一条直线上有公共端点的两线段比问题，若题中再有相等线段或平行线等条件，就可考虑用这种方法，用面积比作为中间比，在这里面积比起着沟通、联系线段比的作用。

12、巧用面积比，妙解几何题

用三角形面积比可以解决一类几何问题，解法很有独到之处，现举例如下：

例1. 如图1，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于（ ）

图1

3 2解法1：因为AD∥CE， 所以 ∠A＝∠CEB 因为 DE∥BC

所以 ∠AED＝∠B △ADE∽△ECB DEADAE??， BCCEBES△ADE3AE2??() S△ECB1BE

D．2

A．2 B． C．3

得

AEDES△DEC3??? BEBCS△BCE1故选C。

解法2：也可用同底的△DEC与△BCE（同底为CE） S△CDEh1AE3???， S△ECBh2BE1S△CDE?3

解法1的关键是△DCE与△BCE等高（平行线DE、CB之间的距离）。 解法2的关键是同底。

例2. 如图2所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为