【高考试题】2019年全国高考理科数学试题(全国I卷)及详解

【高考试题】2019年全国高考理科数学试题（全国I卷）及详解

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M?x?4?x?2,N?xx2?x?6?0，则MA．x?4?x?3 【答案】C。

【解析】由x2?x?6?0可得?x?3??x?2??0??2?x?3，故N???2?x?3?。故而可得M????N?（）

??B．x?4?x??2 C．x?2?x?2 D．x2?x?3

??????N?

??2?x?2?，故选C。

2．设复数z?i?1，z在复平面内对应的点为?x,y?，则（）

A．?x?1??y2?1 B．?x?1??y2?1 C．x2??y?1??1 D．x2??y?1??1 【答案】C。

【解析】由z在复平面内对应的点为?x,y?可得z?x?yi，故而z?i?x??y?1?i?化简可得x2??y?1??1。故选C。

0.20.33．已知a?log20.2，b?2，c?0.2，则（）

2222x2??y?1??1，

22A．a?b?c 【答案】B。

B．a?c?b C．c?a?b

D．b?c?a

【解析】取中间值。a?log20.2?log21?0?a?0，b?20.2?20?1?b?1，

c?0.20.3?0.20?1?0?c?1，故而可得a?c?b，故选B。

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为

5?12（

5?1?0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最25?1。若某人满足上述两2美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是

个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）

A．165 cm 【答案】B。

B．175 cm C．185 cm D．190 cm

【解析】不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A，B，C，D，故可得AB?5?1BC，2?3?5??5?1?5?17?35AC?CD，假设身高为x，可解得CD??x，，AC??，AB?xx???2??2?22?????7?3552?x?26x??AB??2?x?1787?35??由题意可得?，化简可得?。故选B。 ?????x?171?x?212?CD??5?1?x?106?2???5?1????sinx?x5．函数f?x??在???,??上的图像大致为（）

cosx?x2A． B．

C． D．

【答案】D。 【解析】取特值。

f??x????sinx?x???f?x?，故函数为奇函数；

cosx?x2又

?14?2????2f????2?0,f???2??1，故选D。 2???12???4??6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一

重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（） A．

5 16 B．

11 32 C．

21 32 D．

11 16205?，故选6416【答案】A。

3【解析】一共可能有26?64种可能，其中满足恰有3个阳爻的有C6?20种，故概率为

A。

7．已知非零向量a，b满足a?2b，且a?b?b，则a和b的夹角为（） A．

??? 6 B．

? 3 C．

2? 32 D．

5? 61，2【答案】B。 【解析】即夹角为

?a?b??b,??a?b??b?a?b?b?a?bcos??b?0，将a?2b带入可得cos??2?。故选B。 318．右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）

12?12?21A．A?

2?A1B．A?2?

A1C．A?

1?2A1D．A?1?

2A【答案】A。

【解析】运行程序框图。A．第一步：A?11,k?1，是；第二步：A?,k?2，是；第三步：

122?2A?2?112?12,k?3，否，输出，故A正确。故选A。

9．记Sn为等差数列?an?的前n项和。已知S4?0，a5?5，则（） A．an?2n?5 【答案】A。

B．an?3n?10

2C．Sn?2n?8n D．Sn?12n?2n 2?Sn?n2?4n?S4?4a1?6d?0?d?2?【解析】由等差数列性质可得?，解得?，故?。故选A。

a??3a?a?4d?5??11?5?an?2n?510．已知椭圆C的焦点为F,0?，F2?1,0?，过点F2的直线与C交于A，B两点， 1??1若AF2?2F2B，AB?BF1，则C的方程为（）

x2?y2?1 A．2

x2y2??1 B．32x2y2x2y2??1 D．??1 C．4354【答案】B。

【解析】不妨设F2B?m，故F1B?AB?AF2?FB2?3FB2?3m，由椭圆定义可得

13F1B?F2B?2a?4m，故F2B?a,BF1?a,AF2?a,AF?1F2和12a?AF?2a，在?AF22?a2?4c2?a21?cos?AF2F1?2?a?2c?a?22?a1?19222?BF1F2中，分别可得：???，由二角互补可得，解a?4c?a22?aaa4??cos?BFF?4211?a2?a?2c??2x2y2??1。故选B。 得a?3，故b?2，方程为3222

11．关于函数f?x??sinx?sinx有下述四个结论： ①f?x?是偶函数

②f?x?在区间????,??单调递增 2??③f?x?在???,??有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ 【答案】C。

【解析】分段函数讨论。

④f?x?的最大值为2

B．②④ C．①④ D．①③

①由f??x??sin?x?sin??x??sinx?sinx?f?x?，故①正确； ②x?????,??时，f?x??sinx?sinx?2sinx，函数递减，故②错误； 2??③x??0,??时，f?x??sinx?sinx?2sinx，函数有两个零点，f?0??f????0，故x????,0?时，

f?0??f?????0，故函数有且只有三个零点，故③错误；

④函数为偶函数，故只需讨论正数的情况。x??2k?,??2k???k?N?时，f?x??sinx?sinx?2sinx，最大值为2；x????2k?,2??2k???k?N?，f?x??sinx?sinx?0。故函数最大值为2. 故选C。

12．已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA?PB?PC，?ABC是边长为2的正三角形，

E，F分别是PA，AB的中点，?CEF?90?，则球O的体积为（）

A．86? 【答案】D。

【解析】如图所示，三棱锥P?ABC为正三棱锥，不妨设PA?PB?PC?2a，底面外接圆半径为r。

B．46?

C．26?

D．6?

4a2?4?4a21?由题意可得EF?a，CF?3，在?PAC中，由余弦定理可得cos?PAC?，故

2?2?2a2a?EAC中，EC?a2?4?2?a?2?EC?EF?22221?a2?2，又?CEF?90?，故根据勾股定理可得2a22，即PC?2。在直角?POC中，OC?r?3，232C即F2a2?2?3?a?OP?222r?OP6r?h62PC?r???。由正三棱锥外接球半径公式可得：R?，故体积

32h2OP22为?R3?6?。

43

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?3x2?xex在点?0,0?处的切线方程为。 【答案】y?3x。

【解析】求导可得y'?3x2?3x?1ex，故切线斜率为y'14．记Sn为等比数列?an?的前n项和。若a1?【答案】

????x?0?3，故切线方程为y?3x。

12，a4?a6，则S5?。 3121。 3