第二十三讲 平面几何的定值与最值问题
【趣题引路】
传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.??每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,?而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.
这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,?然后再到集市的路程最短呢?
(1) (2)
解析 在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.
证明 如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′. 连结BP?′与切线MN?交于R,AR+BR>AP+BP. ∵RP′+AP′>AR.
∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.
不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.?“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.
【知识延伸】
平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.?所谓几何定值问题就是要求出这个定值.
在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变. 例1 如果△ABC的外接圆半径R一定,求证:
abc是定值.(S表示△ABC的面积) S- 1 -
解析 由三角形面积S=∴c=2RsinC. ∴
1cabsinC和正弦定理=2R,
sinC2abc2c4RsinC===4R是定值. SsinCsinC点评
通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.
平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,?某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,?这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).
例2
如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,
问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?
解析 当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ; 当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 . 点评
⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由
于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P?两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.
求证:OA+OB是定值.
证明 连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.?另记x1=OA,x2=OB.
对△POA应用余弦定理,
得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.
1∠AOB·x+(OP2-r2)=0的根,同理x2亦为其根. 21 因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(∠AOB)是定值.
2 故x1为方程x2-2OP·cos
- 2 -
点评
当x1=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.
例2 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,⊙O与外切,且⊙O与AB、BC?相切.⊙O′与AD、CD相切,设⊙O的半径为x,⊙O与⊙O′的面积的和为S,求S?的最大值和最小值. 解析 设⊙O′的半径为y,过O与O′分别作CD与BC的垂线OH,O′F,?垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E,则有:O′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:
(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,
由题意知1≤x≤4,∴x+y=5,y=-x+5,
∴S=?x+?y=?(2x-10x+25),
5225)+], 24525 故当x=时,Smin=?;
22 =2?[(x-
当x=4时,S=17?.
点评
先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.
中考真题欣赏
例 (南京市中考题)如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,又⊙O1切⊙O2?的直径BE于点C,连结PC并延长交⊙O2于点A,设⊙O1,⊙O2的半径分别为r、R,且R≥2r.?求证:PC·AC是定值. 解析 若放大⊙O1,使⊙O1切⊙O2的直径于点O2(如图), 显然此时有PC·AC=PO2·AO2=2r·R(定值). 再证明如图的情况:连结CO1,PO2,? 则PO2?必过点O1,?且O1C⊥BE,
得CO2=O1O2?O1C=R2?2Rr, 从而BC=R+R2?2Rr,EC=R-R2?2Rr.
所以PC·AC=EC·BC=2Rr,故PC·AC是定值. 点评
解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用
运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.
- 3 -
22 竞赛样题展示
例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,?点P为边BC上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,?垂足分别为点B′、C′、D′.
求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.
解析 ∵S△DPC= S△APC =
1AP·CC′, 2得S四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC
1 AP(BB′+DD′+CC′), 22于是BB′+CC′+DD′=.
AP=
又1≤AP≤2, 故2≤BB′+CC′+DD?′≤2,
∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.
点评
本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC?或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.
求证:AD.AE为定值.
证明 如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE∽△ADC. ∴
ABAE?,即AD·AE=AB·AC为定值. ADACABAE? ADAC- 4 -
如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB∽△ACD,∴
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