即AD·AE=AB·AC为定值.
综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评
先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,?不难发现△ACD∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.?再就一般情况分点D?在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.
全能训练
A级
1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.
2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.
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3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF为定值.
4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.
5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN?∥BC,?且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.
AMNB
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C
A级(答案)
1.定长为圆的直径;
2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)定值为R(R,r是两圆的半径). R?r3.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.
4.如图,设OA=a(定值),过O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B、C为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x≤a,(0≤y≤a),且x2+y2=a2.
2所以PQ=2PB=2 1?x2,RS=2(1?x2+1?y) . 所以PQ+RS=2(1?x-1?y). 22RPBACQ222∴(PQ+RS)2=4(2-a2+21?a?xy) 而x2y2=x2(a2-x2)=-(x2-
a2a)+. 24240a2a422
当x=时,(xy)最大值=.
242
S 22此时PQ+RS=4(2?a?2?a); 当x2=0或x2=a2时,(x2y2)最小值=0,此时(PQ+RS)最小值=2（1+1?a2）. 5.设BC=a,BC边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN∽△ABC,
MNh?2r2r?,MN=a(1-),? BChh由S△ABC=rp,∴r=
S?ABCah?, p2p2a??a?(1?)??paaapp∴MN=a(1-)=p·(1-)≤p??=,
ppp2??4????当且仅当
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ppaa=1-,即a=时,取等号,∴MN的最大值为.
24ppB级
1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( ) A.23 B. 13 C. 14 D.15 QADPAM0BSP
(1) (2) (3)
2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,?则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________. 3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB?延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.
4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE?、?MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( ?) A.定直线 B.经过定点 C.一定不过定点 D.以上都有可能
5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,?又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.
BEC
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