2017年江苏省南通市高考数学一模试卷

2017年江苏省南通市高考数学一模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．（5分）函数

的最小正周期为 ．

2．（5分）设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ． 3．（5分）复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为 ． 4．（5分）口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 ． 5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为 ．

6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为 ．

7．（5分）抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下： 学生 甲 乙 第1次 65 80 第2次 80 70 第3次 70 75 第4次 85 80 第5次 75 70 则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 ．

8．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱

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锥D1﹣A1BD的体积为 cm3．

9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．

=1（a＞0，b

10．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升． 11．（5分）在△ABC中，若

?

+2

?

=

?

，则

的值为 ．

）相交于点

12．（5分）已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，x∈（0P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为 ．

13．（5分）已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为 ．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=

．

（1）求cosβ的值； （2）若点A的横坐标为

，求点B的坐标．

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16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证： （1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为

，焦点到相应准线的距离为1．

（a＞b＞0）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线的值．

于点Q，求

18．（16分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），

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再沿直线PE裁剪． （1）当∠EFP=

时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

19．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R． （1）当

时，求函数f（x）的最小值；

（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点； （3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围． 20．（16分）已知等差数列{an}的公差d不为0，且＜k2＜…＜kn＜…）成等比数列，公比为q． （1）若k1=1，k2=3，k3=8，求（2）当

的值；

，

，…，

，…（k1

为何值时，数列{kn}为等比数列；

恒成立，

（3）若数列{kn}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式求a1的取值范围．

南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]

21．（10分）已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．

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[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知向量

是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面

直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，求直线

[选修4-5：不等式选讲] 24．求函数

[必做题]共2小题，满分20分）

25．（10分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）． （1）若

，求AP与AQ所成角的余弦值；

的最大值．

被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．

（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

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