第11讲 盈亏问题
教学目标
了解盈亏问题是什么,能够分辨出是属于盈亏问题类型 掌握盈亏问题的几种基本情况,以及基本的解题方法 熟悉复杂的盈亏问题,能用方法巧妙转化为基本盈亏问题
知识梳理
一、基本方法
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时,称之为“亏”,分配有余称之为“盈”；还有些实际问题,是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时,如果每人少分,则物品就有余(也就是盈),如果每人多分,则物品就不足(也就是亏),凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 (盈－盈)÷两次分得之差=人数或单位数 (亏－亏)÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足,不管哪种情况,都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。 二、方法技巧
注意1.条件转换 2.关系互换
典例分析
考点一：直接计算型盈亏问题
例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖,还剩7块；如果每人搬5块,则 少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块,还剩7块砖；每人搬5块,就少2块．这两 次搬砖,每人相差5-4=1(块)。第一种余7块,第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9(块),每人相差1块,结果总数就相差9块,所以有少先队员9÷1=9(人)．共有砖：4×9+7=43(块)
例2、明明过生日,同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元；每人出7元,就多出了4 元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【解析】“多8元”与“多4元”两者相差8-4=4(元),每个人要多出8-7=1(元),因此就知道,共有4÷1=4(人),蛋糕价钱是8×4-8=24(元)
例3、老猴子给小猴子分桃,每只小猴分10个桃,就多出9个桃,每只小猴分11个桃则多出2个桃, 那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子,第二种方案盈2个,所以盈亏总和是9-2=7(个),两次分配 之差是11-10=1(个),由盈亏问题公式得,有小猴子：7÷1=7=(只),老猴子有7×10+9=79(个)桃子
例4、猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后,猴王开始分配．若大猴分5个,小猴分3个,猴王可留10个．若大、小猴都分4个,猴王能留下20个．在这群猴子中,大猴(不包括猴王)比小猴多少只？
【解析】当大猴分5个,小猴分3个时,猴王可留10个．若大、小猴都分4个,猴王能留下20个．也就是盈亏问题说在大猴分5个,小猴分3个后,每只大猴都拿出1个,分给每只小猴1个后,还剩下20-10=10个,所以大猴比小猴多10只 考点二：条件关系转换型盈亏问题
例1、一位老师给学生分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒正好分完,问：有多少位 学生？共多少粒糖果？
【解析】第一种分配方案盈9粒糖,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是9粒,两次分配之差是5-4=1(粒),由盈亏问题公式得,参与分糖的同学有：9÷1=9(人),有糖果9×5=45(粒)
例2、猫妈妈给小猫分鱼,每只小猫分10条鱼,就多出8条鱼,每只小猫分11条鱼则正好分完,那 么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是8条,两次分配之差是 11-10=1(条) ,由盈亏问题公式得,有小猫：8÷1=8(只),猫妈妈有8×10+8=88(条)鱼 例3、实验小学学生乘车去春游,如果每辆车坐60人,则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人, 恰好多出一辆车.问一共有几辆车,多少个学生？
【解析】每辆车坐60人,则多余15人,每辆车坐60+5=65人,则多出一辆车,也就是差65人。此车辆数目为：(65+15)÷5=80÷5=16(辆)。学生人数为：60×(16-1)+15=60×15+15=900+15=915(人) 考点三：复杂的盈亏问题
例1、国庆节快到了,学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花,还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆,其余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题,主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆,其 余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完,这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆,其余的人各摆6盆．如果我们把它统一成一种情况,让每人都摆6盆,那么,就么还差6×2-2×4=4(盆)．因此,原问题就转化为：如果每人各摆5盆花,还有3盆没人摆；如果每人 摆6盆花,还缺4盆．问有多少少先队员,一共摆多少花盆？ 人数： (3+4)÷(6-5)=7 (人), 盆数：5×7+3=38(盆)或6×7-4=38(盆)
例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人,如果其中两人分4个,其余人每人分2个,则多出4个；如果 其中一人分6个,其余人每人分4个,则缺少12个,妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人? 【解析】由“其中两人分4个,其余每人分2个,则多出4个”转化为全家每人都分2个,这分4个的两 人每人都拿出2个,共拿出4个,结果就多了4+4=8个；由“一人分6个,其余每人分4
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