midas Civil的边界非线性分析
铅芯橡胶支座是目前桥梁隔震设计中应用的比较多的一种减震支座，对大量的实验结果进行统计分析后得到，其滞回曲线一般为梭形，图形呈反对称，如图1所示。
一般情况下，准确地按实验所得结果建立滞回模型十分困难，为简化起见，可以根据滞回曲线中正反向加载时的初始刚度与卸载时的刚度基本平行以及正反向屈服后刚度也基本互相平行的特性，将支座的滞回曲线简化为双线性曲线，从而建立起铅芯橡胶支座滞回曲线的等价线性化模型，如图2所示。
图2. 铅芯橡胶支座滞回曲线的等价线性化模型
MIDAS/Civil对铅芯橡胶支座也是采用的双线性力学模型来模拟其非线性特性，下面介绍程序中各参数的含义以及应该怎样输入。
自重处输入的是铅芯橡胶支座实际自重。
轴向Dx方向为单线性力学模型，线性特性值中的有效刚度的输入即为支座的轴向刚度，非线性特性值的弹性刚度应与线性特性值中的有效刚度是同一值。有效阻尼在轴向一般取0。
水平剪切方向因为是双轴塑性，也就是Dy方向与Dz方向都是双线性力学模型，两个方向上的输入一般是相同，以Dy方向为例，有效刚度即为图2中的支座的阻尼系数C，其与阻尼比
KB，有效阻尼不是阻尼比?，而是
?的关系是
C?2km? (2?1)
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式中：k为支座水平等效刚度，m为单个橡胶支座承担的上部结构质量。
非线性特性值中的弹性刚度K即为图2中的
K1，屈服强度即是图2中双线性模型中拐点处的
荷载值Qy,主要注意的是屈服后刚度与弹性刚度之比按新西兰规范一般取0.1，国际上大多数也这么取，而其余取值由厂家做相应的实验后提供实测数据。
4. 摩擦摆隔震支座(Friction Pendulum System，FPS)
摩擦摆隔震支座是一种圆弧面滑动摩擦系统，具有较强的限位、复位能力、耗能机制和良好的稳定性。摩擦摆的工作性能受到诸如摩擦系数、滑面半径等参数的影响。
当地震作用力超过静摩擦力时，摩擦摆隔震支座开始滑移，隔震支座所产生的恢复力等于动摩擦力和结构由于沿球面升高竖向重力分量所产生的侧向恢复力之和，这种恢复力与隔震支座所支承的重力和滑动的位移大小成比例，其力学模型如图3所示。
图3. 摩擦摆隔震支座力学模型
摩擦摆隔震支座具有以下三个动力特性：（1）2个水平方向的变形具有摩擦滑移特性；（2）滑动后在水平剪力方向具有刚度特性，这是由于滑移面为球面所引起的，使得支座具有恢复力特性；（3） 在竖直轴上具有间隙单元的特性，即单元不能承受轴向拉力。
MIDAS/Civil中摩擦摆隔震支座的等效力学模型如图4所示，由图4可知，这是一个双轴摩擦
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摆，对于两个剪切变形，沿摆滑移面的径向滑移后刚度，在轴向的缝行为和对于3个弯矩变形的线性有效刚度具有耦合的摩擦属性。此单元还可模拟在接触面的缝和摩擦行为，对于塑性模型的滞回属性是由Wen、Ang和Park（1986）等在Wen（1976）的单轴塑性模型的基础上所发展的双轴塑性(Biaxial Plasticity)模型来定义的，摆行为是Zayas和Low在1990年推荐使用的方法。
在这一单元中，摩擦力和摆力直接和单元的轴向压力成比例，摩擦摆隔震支座不能承受轴向拉力，轴向平移自由度为缝隙宽度等于零的缝属性。该单元Dx方向上的轴力P总是非线性的，如下式定义
图4. MIDAS/Civil摩擦摆隔震等效力学模型
?kx(dx??)(dx???0)(2?2)P?fx??(dx???0) ?0
并且为了在单元中产生非线性剪力，轴向刚度k须为正值。
轴向压力使摩擦摆隔震支座产生非线性剪力，两个剪切方向Dy和Dz的力学性质一般是完全一样的，对于每个剪切变形，摩擦和摆效果平行作用：
Fy?Fyf?Fyp (2?3)
Fz?Fzf?Fzp (2?4)
式中，Fy、Fz为Dy和Dz方向的剪力，Fyf、Fzf为Dy和Dz方向的摩擦力，Fyp、Fzp MIDAS Information Technology （Beijing） Co., Ltd
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为Dy和Dz方向的摆的恢复力。
摩擦力-变形之间的关系为
Fyf??P?yZy (2?5)
Fzf??P?zZz (2?6)
式中，?y、?z为摩擦系数，Zy、Zz为恢复力模型内部滞后变量，P为轴力。反映摩擦面摩擦系数的?y、?z和两个剪切方向变形的速度有关，是由Constantionou,Mokha和Reinhorn(1990)等所提出的公式得到
?rv (2?7) ??fast?(fast?slow)eyyyy
?rv (2?8) ??fast?(fast?slow)ezzzz
式中，slowy、slowz是速度为0时的摩擦系数，程序中是用us表示，fasty、较快时的摩擦系数，程序中是用uf表示，v是滑动的合速度，r是有效的逆速度。
fastz是速度
v??2?d?2 (2?9) dyzr??2?rated?2rateydyzzv2 (2?10)
式中ratey、ratez为反向的特征滑移速度，对于像聚四氟乙烯－钢的交接面，摩擦系数一般
?、d?为剪切弹簧的两节点间变形的变化率。 随滑移速度一起增加，dyz恢复力模型内部滞后变量Zy、Zz变化范围为：定，Zy、Zz初值为零，且按下面微分方程变化
22Zy?Zz2?1，屈服面由Zy?Zz2?1确
2?Z?????1?Zy??ysignd?Z2?yyy????????Z3?????ZyZz?ysigndyZy??y?????????ky?Z?????ZyZz?zsigndzzz?P?y?Z????kz1?Zz2?zsigndzzz?????P?z??????????dy??? ??dz??(2?11)
式中，k2和k3为发生滑动之前摆隔震装置的弹性剪切刚度，?y 、?z、?y和?z为与剪切
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