第一章 1.3 1.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
exe2
1．(2016·潍坊高二检测)设函数f(x)满足xf ′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，
x8
2
f(x)导学号 84624241( D )
A．有极大值，无极小值 C．既有极大值又有极小值
2
B．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
ex
[解析] ∵函数f(x)满足xf ′(x)＋2xf(x)＝，
xex
∴[xf(x)]′＝，
x
2
ex
令F(x)＝xf(x)，则f ′(x)＝，
x
2
e2
F(2)＝4·f(2)＝.
2
ex－2F?x?ex
由xf ′(x)＋2xf(x)＝，得f ′(x)＝，
xx32
ex?x－2?
令φ(x)＝e－2F(x)，则φ′(x)＝e－2f ′(x)＝.
x
x
x
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0.∴φ(x)≥0. 又x＞0，∴f ′(x)≥0. ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
2．(2017·开滦二中高二检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是导学号 84624242( B )
A．(0,1) C．(0，＋∞)
B．(－∞，1) 1
D．(0，)
2
[解析] f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f ′(x)<0，在(x0,1)内f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0，
??b>01∴?∴0 2?2b<1，? 3．(2017·临沂高二检测)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是导学号 84624243( A ) A．5，－15 C．－4，－15 B．5，－4 D．5，－16 [解析] 令y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2 －12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A． 4．(2016·德州高二检测)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x) A．f(a)－g(a) C．f(a)－g(b) [解析] 令F(x)＝f(x)－g(x) ∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0. 所以F′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上递减，∴F(x)max＝f(a)－g(a)． 5．(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是导学号 84624245( D ) A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞) [解析] ∵2x(x－a)<1， 1 ∴a>x－x， 21 令y＝x－x， 2 ∴y是单调增函数，若x>0，则y>－1，∴a>－1. 2 6．(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5， 3则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是导学号 84624246( B ) A．3x－15y＋4＝0 C．15x－3y＋2＝0 2 [解析] ∵f(x)＝－x3＋2ax2＋3x， 3∴f′(x)＝－2x2＋4ax＋3 B．15x－3y－2＝0 D．3x－y＋1＝0 B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞) B．f(b)－g(b) D．f(b)－g(a) ＝－2(x－a)2＋2a2＋3， ∵f′(x)的最大值为5， ∴2a2＋3＝5， 13 ∵a>0，∴a＝1∴f′(1)＝5，f(1)＝. 3 13 ∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0. 3二、填空题 7．曲线y＝xex在点(0,0)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2－4x＋3＝0上的点的最近距离是 2－1 .导学号 84624247 [解析] y′|x＝0＝(x＋1)ex|x＝0＝1，∴切线方程为y＝x，圆心(2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1， ∴所求最近距离为2－1. 8．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__.导学号 84624248 [解析] f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f ′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1. 三、解答题 1 9．(2016·昆明高二检测)设函数f(x)＝x2－ax＋2lnx(a∈R)在x＝1时取得极 2值.导学号 84624249 (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 2 [解析] (1)f ′(x)＝x－a＋， x 因为当x＝1时f(x)取得极值，所以f ′(1)＝0， 即1－a＋2＝0，解得a＝3， 经检验，符合题意． 1 (2)由(1)得：f(x)＝x2－3x＋2lnx， 22?x－1??x－2? ∴f ′(x)＝x－3＋＝，(x>0)， xx令f ′(x)>0解得0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)；单调递减区间为(1,2)． 10．(2017·宁波高二检测)设函数f(x)＝exsinx.导学号 84624250 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值与最小值． π[解析] (1)f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝2exsin(x＋)． 4π f′(x)≥0，所以sin(x＋)≥0， 4 ππ3 所以2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 444π3 f(x)的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z. 44 33 (2)由(1)知当x∈[0，π]时，[0，π]是单调增区间，[π，π]是单调减区间． 44323 f(0)＝0，f(π)＝0，f(π)＝eπ， 424所以f(x)max＝f( 3π23)＝eπ， 424 f(x)min＝f(0)＝f(π)＝0. B级 素养提升 一、选择题 1．若函数f(x)在定义域R内可导，f(1.9＋x)＝f(0.1－x)且(x－1)f ′(x)＜0，a＝f(0)，b1 ＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是导学号 84624251( D ) 2 A．a>b>c C．c>b>a [解析] ∵(x－1)f ′(x)＜0， ∴当x＞1时，f ′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减； 当x＜1时，f ′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增． 又f(1.9＋x)＝f(0.1－x)，∴f(x)＝f(2－x)， ∴f(3)＝f[2－(－1)]＝f(－1)， 1 ∵－1＜0<， 2 11 ∴f(－1)＜f(0)＜f()，∴f(3) 22∴b＞a＞c，故选D． 2．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＋f ′(x)＞1，f(0)＝4，则不等式exf(x)＞ex＋3(其中 B．c>a>b D．b>a>c
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