2020届高三精准培优专练十一 数列求通项公式（文） 教师版

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培优点十一 数列求通项公式

一、公式法

例1：数列?a2n?的前n项和Sn?2n?n?n?N*?，则an?（ ）

A．an?2n?1 B．an?2n?1

C．an?4n?1

D．an?3n?2【答案】C

【解析】因为数列?aS2n?的前n项和n?2n?n，

所以当n?2时，a?S22n?Snn?1?2n?n?[2(n?1)?(n?1)]?4n?1，

当n?1时，a1?S1?3，符合上式，所以综上an?4n?1．

二、构造法

例2：已知数列{an}满足a1?1，an?1?3an?2． （1）求证：数列?an?1?是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）an?1n?2?3?1．

【解析】（1）证明：∵an?1?3an?2，∴an?1?1?3?an?1?． 又∵a1?1?2，∴?an?1?是等比数列，首项为2，公比为3．

（2）由（1）可得a?2?3n?1，解得an?1n?1n?2?3?1．

三、累加累乘法

1

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例3：已知数列?an?满足a2?6，

an?n(n?N*)，求数列?an?的通项公式．

an?1?an【答案】an?3n． 【解析】a2?6，

ana?n?n?N*?，

n?1?an∴aan?1n?1?3且nan?1??n?1?an，即

a?1， nn由累乘法得an?ana?an?1??a2?ann?121??????a1?na1?3n，n?1an?2a1n?1n?21∴an?1?an?3?n?1??3n?3，

则数列?an?是首项为3，公差为3的等差数列，通项公式为an?3n．

对点增分集训

一、选择题

1．已知数列?a?满足aann1?1，an?1?n?2，则a10?（ ）

A．1024 B．1023 C．2048 D．2047

【答案】B

【解析】根据题意可得ann?1?an?2，

∴2(1?29(a(a2)2?a1)?3?a2)?????(a10?a9)?2?2?????29?1?2?1022，

∴a10?a1?1022，∴a10?1023．

2．已知数列{a项和S2n}的前nn?n?6n，第k项满足5?ak?8，则k?（A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】C

【解析】n?1时，a1?S1??5；n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?7，

）

2

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∴an?2n?7，∴5?2k?7?8，解得k?7，故选C． 3．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn?11?an，则an?（ ） 22C．2?()?A．?()1132n?1 B．

12n?1?() 2313n1 3D．()

13n【答案】D

【解析】由题意，得S1?a1?111?a1，所以a1?， 223a11111?an??an?1，即n?，

an?132222又当n?2时，Sn?Sn?1?an?所以数列{an}是首项为

111n，公比为的等比数列，所以an?()，故选D． 3331n4．在数列?an?中，a1?2,an?1?an?ln(1?)，则an?（ ） A．2?lnn 【答案】A

【解析】由题意可得a2?a1?ln2,a3?a2?lnB．2?ln(n?1)

C．2?nlnn

D．1?n?lnn

3n,???,an?an?1?ln， 2n?1将以上n?1个等式两边相加可得an?a1?lnnn?12????2?lnn，应选A．

n?1n?215．已知数列?a1?中，a1?1，an?1?2an?1?n?N?，Sn为其前n项和，则a6的值为（ ） A．63 【答案】A

【解析】由条件可得an?1?1?2(an?1)，即?an?1?是以a1?1?2为首项，以2为公比的等比数列，

n?1nn6所以an?1?2?2?2，an?2?1，a6?2?1?63，故选A．

B．31 C．64 D．32

6．已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，an?1?3Sn?2，则a4?（ ） A．64

B．80 C．256 D．320

3

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【答案】B

【解析】∵an?1?3Sn?2，∴当n?2时，an?3Sn?1?2，an?1?an?3(Sn?Sn?1)， 即an?1?4an，

n?1?1,a?3a?2?5?4aa?又2，a4?80，故应选B． ?11，∴nn?2?5?4,n?27．数列?an?中，a1?1,an?1?an?1(n?N*)，则a10?（ ）

3n(n?1)C．

A．

35 27B．

8 2713 10D．

3 10【答案】C

【解析】由题意得a1?1，an?1?an?所以a10?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?1111?(?)，

3n(n?1)3nn?1?(a10?a9)

111111?1??[(1?)?(?)?(?)?3223341113?(?)]?，故选C． 910101an?1?6?n?2?，若对任意的n?N*，28．已知数列?an?的前n项和为Sn，且a1?5，an??1?p?Sn?4n??3恒成立，则实数p的取值范围为（ ）

A．?2,3 【答案】B

?B．2,3

??C．?2,4 ?D．2,4

??1?an?4?， 21则数列?an?4?是首项为a1?4?1，公比为?的等比数列，

2【解析】由数列的递推公式可得：an?1?4???1?an?4?1?????2?n?1?1?，an?????2?nn?1?4，

2?1?分组求和可得Sn?[1????]?4n，

3?2?

4