《高等数学AⅠ》课程教学大纲

《高等数学AⅠ》课程教学大纲

一、课程基本信息

开课单位 课程类别 学科基础课 课程编码 开课学期 第一学期 课程名称 高等数学AⅠ Advanced Mathematics AⅠ 开课对象 工科类本科专业 学时/学分 80学时/4.5学分 先修课程 初等数学 课程简介： 《高等数学AⅠ》是计算机、机电、电子信息、机械设计制造、车辆工程及自动化等本科专业的一门重要的基础理论课。通过这门课程的学习可以使学生获得从事计算机、机电、电子信息、机械设计制造及自动化等专业所必需的微积分知识；使学生运用变量数学的方法分析研究计算机、机电、电子信息、机械设计制造、车辆工程及自动化等技术中的数量关系，培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。 二、课程教学目标

本课程为理工科本科生的必修课。通过系统学习，使学生掌握高等数学的基本知识,使学生计算能力和解决问题的能力进一步提高，逐步培养学生抽象思维和概括问题的能力、逻辑推理能力、量化思维能力、自学能力、较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力,为学习后续课程奠定数学基础。

第一，通过课程学习，学生的计算能力要进一步提高，主要是求极限、求导数、求积分的能力要达到一定的熟练程度。

第二，通过课程学习，学生的自学能力要进一步提高，主要是培养学生的自主学习意识和学习习惯。

第三，通过课程学习，学生的分析和解决问题的能力要进一步提高，主要是要培养学生的学以致用的能力，把高等数学的知识用到后续的专业课程中去的能力。

第四，通过课程学习，学生的抽象思维和逻辑推理能力要进一步提高。

三、教学学时分配

《高等数学AⅠ》课程理论教学学时分配表

学时 教学主要内容 教学方法或手段 分配 函数与极限 22 讲授法，讨论法 导数与微分 中值定理与导数的应用 不定积分 定积分 12 14 12 12 讲授法，讨论法 讲授法，MOOC 讲授法，讨论法 讲授法，讨论法 章次 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 定积分的应用 8 80 讲授法，MOOC 总计 ＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求

第一章函数与极限（22学时）

（一）教学要求

1．掌握集合、实数与数轴、绝对值及其性质、区间等内容。 2．理解邻域的概念。

3．理解函数的概念、表示法及性质。 4．理解反函数及其图形。

5．理解复合函数的概念，掌握复合函数的分解与复合过程。 6．掌握基本初等函数的定义域、性质及图形。 7．掌握数列及数列极限的ε-N定义。

8．掌握函数极限的ε-N、ε-δ定义和左右极限及保号性定理。

9．掌握无穷大、无穷小的概念、无穷小性质及极限与无穷小的关系的等价性定理。 10．掌握极限的运算法则。

11．理解极限存在准则，掌握两个重要极限及其运用。 12．掌握无穷小的比较及其运用。

13．掌握函数连续性与间断点的概念。理解连续函数的运算及反函数和复合函数的

连续性。

14．掌握基本初等函数的连续性及初等函数的连续性。 15．理解闭区间上连续函数的性质。 16．会建立简单实际问题的数学模型。 （二）教学重点与难点

重点：函数概念。极限概念。连续概念。 难点：极限的ε-N、ε-M、ε-δ定义。 （三）教学内容 第一节 映射与函数

1．集合 2．映射 3．函数 第二节 数列的极限

1．数列极限的定义 2．收敛数列的性质 第三节 函数的极限

1．函数极限的定义 2．函数极限的性质

第四节 无穷小与无穷大

1．无穷小 2．无穷大 第五节 极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点

1．函数的连续性 2．函数的间断点

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

1．连续函数的和、差、积、商的连续性 2．反函数与复合函数的连续性 3．初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质

1．有界性与最大值最小值定理 2．零点定理与介值定理 本章习题要点：

1．求数列极限 2．求函数极限

第二章导数与微分（12学时）

（一）教学要求

1．理解导数的概念、几何意义、物理意义及可导与连续的关系。

2．理解掌握求导的四则运算、反函数的导数、隐函数的导数、对数求导法及参变量函数的导数。

3．熟练掌握复合函数的求导法则。

4．掌握高阶导数的求法，理解二阶导数的力学意义。 5．理解微分的概念、几何意义及其与导数的关系。 6．掌握微分运算法则及一阶微分形式不变性。 7．掌握微分在近似计算中的应用。 （二）教学重点与难点

重点：导数概念。复合函数求导法则。微分概念。 难点：隐函数求导 （三）教学内容 第一节 导数概念

1．引例 2．导数的定义 3．导数的几何意义

4．函数可导性与连续性的关系 第二节 函数的求导法则

1．函数的和、差、积、商的求导法则 2．反函数的求导法则 3．复合函数的求导法则 4．基本求导法则与导数公式 第三节 高阶导数

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

1．隐函数的导数

2．由参数方程所确定的函数的导数 3．相关变化率 第五节 函数的微分

1．函数的微分 2．微分的几何意义

3．基本初等函数的微分公式与微分运算法则 4．微分在近似计算中的应用 本章习题要点：

1．求函数的导数 2．求函数的微分 3．利用微分进行近似计算

第三章 微分中值定理与导数的应用（14学时）

（一）教学要求：

1．理解并会用罗尔定理、柯西定理、泰勒定理。 2．掌握拉格朗日定理及推论。 3．掌握洛比达法则及其运用。

4．熟练掌握函数单调性的判定及函数极值、最值的求法。 5．掌握曲线凹凸性的判定及拐点的求法。 （二）教学重点与难点

重点：拉格朗日中值定理及其推论。函数的极值与最值。 难点：中值定理的证明 （三）教学内容 第一节 微分中值定理

1．罗尔定理 2．拉格朗日中值定理 3．柯西中值定理 第二节 罗必达法则 第三节 泰勒公式

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

1．函数的单调性的判定法 2．曲线的凹凸性与拐点 第五节 函数的极值与最大值最小值

1．函数的极值及其求法 2．最大值最小值问题 本章习题要点：

1．求函数的极值和最值 2．求函数的极限

第四章 不定积分（12学时）

（一）教学要求：

1．理解原函数与不定积分的概念。 2．掌握基本积分公式和基本积分法则。

3．熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

4．理解有理函数的积分法及简单无理函数和三角有理式的积分法。 （二）教学重点与难点

重点：原函数与不定积分的概念、换元积分法与分部积分法 难点：有理函数的积分 （三）教学内容

第一节 不定积分的概念与性质

1．原函数与不定积分的概念 2．.基本积分表 3．不定积分的性质 第二节 换元积分法

1．第一类换元法 2．第二类换元法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分

1．有理函数的积分 2．可化为有理函数的积分 本章习题要点：

1．求不定积分 2．有理函数积分

第五章 定积分（12学时）

（一）教学要求：

1．理解定积分的概念、几何意义、物理意义及存在定理。 2．掌握定积分的性质。