2019-2020学年高中数学 1.5.3定积分的概念教案 理 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 1.5.3定积分的概念教案 理 新人教A

版选修2-2

教学目标：

⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景； ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．

3．理解掌握定积分的几何意义；

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学过程： 一．创设情景 复习：

1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步

骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授

1．定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

a?x0?x1?x2??xi?1?xi??xn?b

b?a），在每个小区间n将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x（?x??xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,,n?，作和式：Sn??f(?i)?x??i?1nb?af(?i) ni?1n如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S??f(x)dx

ab其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。

说明：（1）定积分

?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为

?baf(x)dx，而不是Sn．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间?a,b?；②近似代替：取

nbb?ab?a点?i??xi?1,xi?；③求和：? f(?i)；④取极限：?f(x)dx?lim?f??i?an??nni?1i?1n（3）曲边图形面积：S?变力做功 W??baf?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；

t1t2?baF(r)dr

2．定积分的几何意义

说明：一般情况下，定积分

?baf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直

线x?a,x?b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数y?f(x)，若y?f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式f?x1??x?f?x2??x?不妨设f(xi),f(xi?1),于是和式即为

?f(xi)?x??f?xn??x

,f(xn)?0

性质2

?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3

?ba[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx （定积分的线性性

aabcbbb质）性质4

?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dxaac(其中a?c?b)

说

（定积分对积分区间的可加性） 明：①

推

bbaa广：

?ba[f1(x)?f2(x)??fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?ac1c2bac1ckb??fm(x)

②推广:

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx???f(x)dx

性质4 ③性质解释：

y性质1 y=1yACBOabxMOaPbNx

三．典例分析 例1．计算定积分

S曲边梯形AMNB?S曲边梯形AMPC?S曲边梯形CPNB?21(x?1)dx

5。 2y 2分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：

?21(x?1)dx?5 2思考：若改为计算定积分

??2(x?1)dx呢？

改变了积分上、下限，被积函数在[?2,2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）

四．课堂练习

o 1 2 x