（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460， 解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润＝售价﹣进价．
25．（10分）如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝6． （1）求证：∠ECD＝∠EDC； （2）若BC＝2OC，求DE长；
（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出∠EDC+∠ODA＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠OAC，得出∠EDC＝∠ACO，即可得出结论；
（2）设DE＝x，则CE＝DE＝x，OE＝2+x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；（3）过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，当∠A＝15°时，∠DOF＝30°，得出DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°，S
弓形ABD
＝S
扇形ODA
﹣S△AOD＝15π﹣9，当∠A＝30°时，∠DOF＝
60°，S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝12π﹣9
，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵DE是⊙O的切线， ∴∠EDC+∠ODA＝90°， ∵OA⊥OB，
∴∠ACO+∠OAC＝90°，
∵OA、OB是⊙O的两条半径， ∴OA＝OB， ∴∠ODA＝∠OAC， ∴∠EDC＝∠ACO， ∵∠ECD＝∠ACO， ∴∠ECD＝∠EDC；
（2）解：∵BC＝2OC，OB＝OA＝6， ∴OC＝2， 设DE＝x， ∵∠ECD＝∠EDC， ∴CE＝DE＝x， ∴OE＝2+x， ∵∠ODE＝90°， ∴OD2+DE2＝OE2， 即：62+x2＝（2+x）2， 解得：x＝8， ∴DE＝8；
（3）解：过点D作DF⊥AO交AO的延长线于F，如图2所示： 当∠A＝15°时，∠DOF＝30°，
∴DF＝OD＝OA＝3，∠DOA＝150°， S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝当∠A＝30°时，∠DOF＝60°， ∴DF＝
OD＝
OA＝3
，∠DOA＝120°，
﹣OA?DF＝12π﹣×6×3
＝12π﹣9
，
）＝
﹣OA?DF＝15π﹣×6×3＝15π﹣9，
S弓形ABD＝S扇形ODA﹣S△AOD＝
∴当∠A从15°增大到30°的过程中，AD在圆内扫过的面积＝（15π﹣9）﹣（12π﹣93π+9
﹣9．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 26．（12分）【阅读材料】
小明遇到这样一个问题：如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．
小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证 △ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．（1）请回答：在图1中，∠PDB＝ 90 °，PB＝ 5 ． 【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
AC＝BC，PB＝如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，点P在△ABC内，且PA＝1，求AB的长． 【灵活运用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝，点P在△ABC外，且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．
PC＝2，
，
【分析】（1）由△ACP≌△ABD，得∠ADB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3，因为△ADP为等边三角形，所以∠ADP＝60°，DP＝AD＝3，可得∠BDP＝90°，在Rt△BDP中，用勾股定理可求得PB的长；
（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．首先证明∠PDB＝90°，再证明A，P，D共线，利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作CD⊥CP，使得CD＝PC＝，则PD＝的性质求出AD，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，
＝，利用相似三角形
∵△ACP≌△ABD，
∴∠PDB＝∠APC＝150°，PC＝BD＝4，AD＝AP＝3， ∵△ADP为等边三角形， ∴∠ADP＝60°，DP＝AD＝3， ∴∠BDP＝150°﹣60°＝90°， ∴PB＝
＝5．
故答案为：90°，5；
（2）如图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．
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