2018届湖南师大附中高三上学期月考试卷（五）数学（理）（word版）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
5i
(1)复数的虚部是(C)
1＋2i
(A) i (B) －i (C) 1 (D) －1 选C.
(2)若集合A＝{x∈R||x－4|≤2}，非空集合B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若BA，则实数a的取值范围是(D)
(A) (3，＋∞) (B) [－1，＋∞) (C) (1，3) (D) [1，3] 【解析】∵集合A＝{x∈R||x－4|≤2}＝[2，6]，
?2a≥2，
由集合B不为空集可得2a≤a＋3，即a≤3，由BA得?解得a∈[1，3]，故选D.
?a＋3≤6，
(3)若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a－b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a－2|＜q，且|b－2|＜q”，则甲是乙的(B)
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【解析】若a，b为实数，且|a－b|＜2q，则取a＝8，b＝6，q＝2时，不满足|a－2| 则|a－b|＝|(a－2)－(b－2)|≤|a－2|＋|b－2| (4)MOD(a，b)表示求a除以b的余数，若输入a＝34，b＝85，则输出的结果为(B) (A) 0 (B) 17 (C) 21 (D) 34 【解析】模拟执行程序框图，可得a＝34，b＝85， 不满足条件a＞b，c＝34，a＝85，b＝34， m＝MOD(85，34)＝17，a＝34，b＝17， 不满足条件m＝0，m＝MOD(34，17)＝0，a＝17，b＝0， 满足条件m＝0，退出循环，输出a的值为17.故选B. x2y2x2y2 (5)已知椭圆2＋2＝1的离心率为e1，双曲线2－2＝1的离心率为e2，抛物线y2＝2px的离心率为e3， abab1? a＝5log3e1，b＝??5? 1 e2，c＝5loge3，则a，b，c之间的大小关系是(D) 2 (A) a＞c＞b (B) a＞b＞c (C) c＞b＞a (D) b＞c＞a 【解析】依题意，0＜e1＜1，e2＞1，e3＝1，∴log3e1＜0，log2e2＞0，log1e3＝0， 2 log12 1?1 ∴c＝5loge3＝50＝1；又b＝??5?2 ∴b＞c＞a.故选D. 1log2e2＝5log2e2＞50＝1；a＝5log3e1＜50＝1； x2＋a (6)若a∈[1，6]，则函数y＝在区间[2，＋∞)内单调递增的概率是(B) x4321(A) (B) (C) (D) 5555 2 x2＋aax－a 【解析】∵函数y＝在区间[2，＋∞)内单调递增，∴y′＝1－2＝2≥0在[2，＋∞)恒成立， xxx ∴a≤x2在[2，＋∞)恒成立，∴a≤4， ∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]， x2＋a4－13 ∴函数y＝在区间[2，＋∞)内单调递增的概率是＝，故选B. x6－15π1 (7)下列选项中为函数f(x)＝cos?2x－?sin 2x－的一个对称中心为(A) 46??(A) ? 7ππ ，0? (B) ?，0? ?24??3? ππ1 (C) ?，－? (D) ?，0? 4??3?12? π1131 【解析】函数f(x)＝cos?2x－?sin 2x－＝?cos 2x＋sin 2x?sin 2x－ 4?246??2?＝ π311311－cos 4x11? sin 2xcos 2x＋sin22x－＝sin 4x＋·－＝sin4x－?， 22442242?6? πkππkππ 令4x－＝kπ，求得x＝＋，可得函数的对称中心为?＋，0?，k∈Z， 6424?424?当k＝1时，函数的对称中心为?7π? ?24，0?.故选A. (8)九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则______天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，结果精确到0.1.(注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．)(B) (A) 2.8 (B) 2.6 (C) 2.4 (D) 2.2 1 【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An. 2莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn. 11－n?3??2?2n－1 则An＝，Bn＝， 12－11－2 11－n?3??2?2n－16 由题意可得：＝，化为：2n＋n＝7，解得2n＝6，2n＝1(舍去)． 122－11－2lg 6lg 3∴n＝＝1＋≈2.6. lg 2lg 2 ∴估计2.6天后，蒲、莞长度相等，故选B. (9)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b.若直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为(C) (A) (x－1)2＋(y＋1)2＝1 (B) (x－1)2＋(y＋1)2＝2 1812 (C) (x－1)2＋(y＋1)2＝ (D) (x－1)2＋(y＋1)2＝ 1715100ab 【解析】由题意，＝＝，∴a＝40，b＝24， 2 5001 000600∴直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0， |5－3＋1|3 A(1，－1)到直线的距离为＝. 3425＋9 ∵直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°， ∴r＝ 618 ，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝，故选C. 1734 ?x＋y≤4，y＋1 (10)已知k≥－1，实数x，y满足约束条件?3x－2y≥6，且的最小值为k，则k的值为(C) x ?y≥k， (A) 2－23－52±23±5 (B) (C) (D) 5522 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： y＋1 的几何意义是区域内的点到定点D(0，－1)的斜率， x ??y＝k，?x＝4－k， 由图象知AD的斜率最小，由?得?得A(4－k，k)， ?y＝k，x＋y＝4?? k＋13－53＋5则AD的斜率k＝，整理得k2－3k＋1＝0，得k＝或(舍)， 224－k故选C. (11)某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是(A) (A) 16 (B) 24 (C) 8 (D) 12 【解析】根据题意，分3步进行分析： ①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况； ②将这个整体与英语全排列，有A22＝2种顺序，排好后，有3个空位； ③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况， 则数学、物理的安排方法有2×2＝4种． 则不同排课法的种数是2×2×4＝16种，故选A. (12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1，2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为(A) (A) ?(B) ?(C) ? ln 2－1ln 2－1??1－ln 21－ln 2??6，8?∪?8，6? ln 2－1ln 2－1??6，8? 1－ln 21－ln 2??8，6? ln 2－11－ln 2??6，8? (D) ? 【解析】函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点． 1－x1 当x∈[1，2]时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝<0， xx 此时f(x)单调递减，且f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1.由f(2－x)＝f(x)知函数图象关于x＝1对称， 而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为2的函数，易知m≠0，当－m<0时，作出函数y＝f(x)与y＝－mx的图象，如图所示． ?－8m －6m>f（6），??－8m 即?解得 86?－6m>ln 2－1， ln 2－1ln 2－1 同理，当－m>0时，可得 68综上所述，实数m的取值范围为? ln 2－1ln 2－1??1－ln 21－ln 2? ?6，8?∪?8，6?. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点x1、 x2，则f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)，类比此，若三次函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有三个零点x1、 x2、x3，则g(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(x－x3)__． π1(14)若(cos φ＋x)5的展开式中x3的系数为4，则sin?2φ－?＝____． 52?? 2 【解析】由二项式定理得，x3的系数为C35cosφ＝4， π21 ∴cos2φ＝，故sin?2φ－?＝－cos 2φ＝1－2cos2φ＝. 552?? (15)如图所示，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为__613＋32__. 【解析】如图， 延长EF、A1B1 相交于M，连接AM交BB1 于H， 延长FE、A1D1 相交于N，连接AN交DD1 于G， 可得截面五边形AHFEG. ∵ABCD－A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点， ∴EF＝32，AG＝AH＝62＋42＝213，EG＝FH＝32＋22＝13. ∴截面的周长为613＋32. πa (16)已知向量a，b夹角为，|b|＝2，对任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|，则|tb－a|＋|tb－|(t∈R)的最小 32值是__7__． 2π 【解析】向量a，b夹角为，|b|＝2，对任意x∈R，有|b＋xa|≥|a－b|， 3两边平方整理可得x2a2＋2xa·b－(a2－2a·b)≥0， 则Δ＝4(a·b)2＋4a2(a2－2a·b)≤0，即有(a2－a·b)2≤0，即a2＝a·b， π 则(a－b)⊥a，由向量a，b夹角为，|b|＝2， 3π 由a2＝a·b＝|a|·|b|·cos，即有|a|＝1， 3则|a－b|＝a2＋b2－2a·b＝3， →→ 画出AO＝a，AB＝b，建立平面直角坐标系，如图所示． 则A(1，0)，B(0，3)，∴a＝(－1，0)，b＝(－1，3)．
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