等比数列经典例题透析
类型一:等比数列的通项公式
例1.等比数列{an}中,a1?a9?64, a3?a7?20,求a11.
思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组,解出a1和q,可得a11;或注意到下标1?9?3?7,可以利用性质可求出
a3、a7,再求a11.
总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。
【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【变式3】已知等比数列{an},若a1?a2?a3?7,a1a2a3?8,求an。 类型二:等比数列的前n项和公式
例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q. 解析:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.
因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.
a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(1?q9)??由S3?S6?2S9得,,
1?q1?q1?q整理得q3(2q6-q3-1)=0,
由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
341因q≠1,故q??,所以q??。
223
3举一反三:
11【变式1】求等比数列1,,,?的前6项和。
39【变式2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.
【变式3】在等比数列{an}中,a1?an?66,a2?an?1?128,Sn?126,求n和 类型三:等比数列的性质
例3. 等比数列{an}中,若a5?a6?9,求log3a1?log3a2?...?log3a10. 举一反三:
【变式1】正项等比数列{an}中,若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.
827【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三
32个数的乘积为________。
类型四:等比数列前n项和公式的性质
例4.在等比数列{an}中,已知Sn?48,S2n?60,求S3n。
思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。
举一反三:
【变式1】等比数列{an}中,公比q=2, S4=1,则S8=___________.
【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=? 【变式3】等比数列{an}的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.
SS801【答案】∵ n?,∴q?1(否则n?)
S2n6560S2n2a1(1?qn)∴Sn?=80 ........(1)
1?qa1(1?q2n)S2n?=6560.........(2),
1?q(2)÷(1)得:1+qn=82,∴qn=81......(3) ∵该数列各项为正数,∴由(3)知q>1 ∴{an}为递增数列,∴an为最大项54. ∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q, ∴81a1=54q..........(4)
5422∴a1?q?q代入(1)得q(1?81)?80(1?q),
8133∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列{an}中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________. 【变式5】等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。 类型五:等差等比数列的综合应用
例5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.
总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,
x可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但
y还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。
举一反三:
【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,,那么所得的三项就
成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.
【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。
【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
类型六:等比数列的判断与证明
例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?
思路点拨:由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型.
【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.
【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q,且p≠q
2为证{Cn}不是等比数列,只需证C1?C3?C2. 2?(a1p?b1q)2?a12p2?b12q2?2a1b1pq, ∵C2C1?C3?(a1?b1)(a1p2?b1q2)?a12p2?b12q2?a1b1(p2?q2)
2?a1b1(p?q)2, ∴C1?C3?C2又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,
22?0即C1?C3?C2∴C1?C3?C2
∴数列{Cn}不是等比数列.
【变式3】判断正误:
(1){an}为等比数列?a7=a3a4;
(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;
(3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列;
?1?2{a}(4){an}是公比为q的等比数列,则n、??仍为等比数列;
?an?(5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差. 类型七:Sn与an的关系
2?5an?6,且a1,a3,例7.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn?ana15成等比数列,求数列{an}的通项an.
举一反三:
【变式】命题1:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题2:若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.
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