等比数列经典例题透析

等比数列经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式

例1．等比数列{an}中，a1?a9?64, a3?a7?20,求a11.

思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和q，可得a11；或注意到下标1?9?3?7，可以利用性质可求出

a3、a7，再求a11.

总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。

【变式3】已知等比数列{an}，若a1?a2?a3?7，a1a2a3?8，求an。 类型二：等比数列的前n项和公式

例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.

因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(1?q9)??由S3?S6?2S9得，，

1?q1?q1?q整理得q3(2q6-q3-1)=0，

由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，

341因q≠1，故q??，所以q??。

223

3举一反三：

11【变式1】求等比数列1,,,?的前6项和。

39【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.

【变式3】在等比数列{an}中，a1?an?66，a2?an?1?128，Sn?126，求n和 类型三：等比数列的性质

例3. 等比数列{an}中，若a5?a6?9,求log3a1?log3a2?...?log3a10. 举一反三：

【变式1】正项等比数列{an}中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.

827【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三

32个数的乘积为________。

类型四：等比数列前n项和公式的性质

例4．在等比数列{an}中，已知Sn?48，S2n?60，求S3n。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

举一反三：

【变式1】等比数列{an}中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.

【变式2】已知等比数列{an}的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？ 【变式3】等比数列{an}的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.

SS801【答案】∵ n?，∴q?1(否则n?)

S2n6560S2n2a1(1?qn)∴Sn?=80 ........(1)

1?qa1(1?q2n)S2n?=6560.........(2)，

1?q(2)÷(1)得：1+qn=82,∴qn=81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{an}为递增数列，∴an为最大项54. ∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q, ∴81a1=54q..........(4)

5422∴a1?q?q代入(1)得q(1?81)?80(1?q)，

8133∴q=3,∴n=4.

【变式4】等比数列{an}中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________. 【变式5】等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。 类型五：等差等比数列的综合应用

例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.

思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.

总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，

x可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但

y还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。

举一反三：

【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就

成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.

【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

类型六：等比数列的判断与证明

例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？

思路点拨：由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.

【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.

【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q

2为证{Cn}不是等比数列，只需证C1?C3?C2. 2?(a1p?b1q)2?a12p2?b12q2?2a1b1pq, ∵C2C1?C3?(a1?b1)(a1p2?b1q2)?a12p2?b12q2?a1b1(p2?q2)

2?a1b1(p?q)2, ∴C1?C3?C2又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,

22?0即C1?C3?C2∴C1?C3?C2

∴数列{Cn}不是等比数列.

【变式3】判断正误：

(1){an}为等比数列?a7=a3a4；

(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；

(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；

?1?2{a}(4){an}是公比为q的等比数列，则n、??仍为等比数列；

?an?(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差. 类型七：Sn与an的关系

2?5an?6，且a1，a3，例7．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn?ana15成等比数列，求数列{an}的通项an.

举一反三：

【变式】命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=na-n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.