分类讨论思想例题分析
[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4____。
C1 A B C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上
AMCNB
AMBNC
例2下列说法正确的是（ ）
A、 两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。 C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。
例3在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20°或50°） BNCMMCBNA [练习] 已知?AOB?60o,过O作一条射线OC，射线OE平分?AOC，射线OD平分?BOC，求?DOE的大小。 （1）射线OC在?AOB内 （2）射线OC在?AOB外
AECDOBCEOA OAD OB 这两种情况下，都有?DOE=?AOB60??30o 22o小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然?AOC的大小不确定，但是所求的?DOE与?AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
[三角形中分类讨论思想的应用]
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论
2AD?BD·DC，则 例4、 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且
∠BCA的度数为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，
2AD?BD·DC，由 得△ABD∽△CAD，进而
可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD在形外时，此时
2AD?BD·DC，△ABC为钝角三角形。 由
得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2、等腰三角形的分类讨论：
a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。
例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。
[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。
11??x?x?9,x?x?12,????22若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得?或?解
?1x?y?12,?1x?y?9.???2?2?x?6,?x?8,得?或?即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。
y?9,y?5.??b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。
例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）
A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°
[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。
2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足三边的长为_____________。 解析：由
x2?4?y2?5y?6?0x2?4?y2?5y?6?0，则第
22yx?4?0，可得且?5y?6?0
?x1?2?x2?2??y?2 分别解这两个方程，可得满足条件的解?1，或?y2?3
由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。
22 当两直角边长分别为2，2时，斜边长为2?2?22；
当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为5； 当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为13。 综上，第三边的长为22或5或13。
4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
例8、如图所示，在△ABC中，AB?6，AC?4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则
AQ的长为（ ）
(A)3
(B)3或
434 (C)3或 (D) 343A P B
C
析解：由于以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形有一个公共角（?A），因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC，这样根据相似三角形的性质可得
AQAPAQ2，即?，解得AQ?3；?64ABACAPQABC，于是有
二是过点P作?APQ??ABC，交边AB于点Q，这时
AQAPAQ244，即?，解得AQ?. 所以AQ的长为3或，故应选(B)。 ?4633ACAB
四、本节小结
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还
可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。
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