§10.1 分类计数原理与分步计数原理
1．分类计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，??，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种不同的方法． 2．分步计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，??，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种不同的方法．
3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × ) (2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )
(3)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )
(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，，?，
n)，那么完成这件事共有m1m2m3?mn种方法．( √ )
1
1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有________种． 答案 2
解析 传递方式有甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲．
2．(2013·山东改编)用0,1，?，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________． 答案 252
解析 由分步计数原理知，用0,1，?，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648.则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
3．将一个两位数的两个数字顺序颠倒(要求颠倒后仍为两位数)，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数是奇和数．那么，所有的两位数中，奇和数有________个． 答案 20
解析 设这个两位数为10a＋b，则顺序颠倒后为10b＋a. 两个数相加和为11a＋11b＝10(a＋b)＋(a＋b)．
由题意得a＋b可取3,5,7,9，满足这样的条件的两位数只有20个．
4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 答案 14
解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C4＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数．
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题型一 分类计数原理的应用
例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．
(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
2
(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
思维点拨 按班级分类． 解 (1)完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，
根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法． (2)完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法． 综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．
思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解 方法一 按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个．
方法二 按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
题型二 分步计数原理的应用
例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理， 知共有选法3＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
3
6
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理，得共有不同的报名方法6＝216(种)．
思维升华 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
(1)y＝ax＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解 (1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．
(2)y＝ax＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数． 题型三 两个原理的综合应用
例3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
思维点拨 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．
解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．
当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)． 方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色． 第一步，S点染色，有5种方法；
第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；
第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步、分类计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)． 方法三 按所用颜色种数分类．
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