例1．如图所示，用恒力F使一个质量为m的物体由静止开
始沿水平地面移动的位移为l，力F跟物体前进的方向的夹角为α，物体与地面间的动摩擦因数为μ，求： (1)力F对物体做功W的大小； (2)地面对物体的摩擦力Ff的大小； (3)物体获得的动能Ek．
跟踪训练1．将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力
的理想状况下，小球将上升到某一最大高度．由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%．设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v．
体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
121
A．mgh－mv B．mv2－mgh
22
1
C．－mgh D．－(mgh＋mv2)
2
物理思想方法
应用动能定理求解动力学中的多过程问题 例3．如图所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明
的薄壁圆管弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与“2009”管道平滑连接的竖直放置
1
的半径为R＝0.4 m的圆管轨道，已知AB圆管轨道半
4径与“0” 字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由半径为2R
13
的光滑圆弧和半径为R的光滑圆弧以及两段光滑的水
44平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P．现让质量m＝0.5 kg的闪光小球(可视为质点)从距A点高H＝2.4 m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为 v＝8 m/s，g取10 m/s2．求：
(1)小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功； (2)小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力； (3)小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位
移．
要点二 利用动能定理求功
由于功是标量，所以动能定理中合力所做的功既可通过合力来计算(W总＝F合lcos α)，也可用每个力做的功来计算(W总＝W1＋W2＋W3＋…)．这样，原来直接利用功的定义不能计算的变力的功可以利用动能定理方便的求得，它使得一些可能无法进行研究的复杂的力学过程变得易于掌握和理解．
例2．如图所示，质量为m的物体被线牵引着在光滑的水平
面上做匀速圆周运动，拉力为F时，转动半径为r．当拉力增至8F时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径
r
为，求拉力对物体做的功． 2
跟踪训练3．(2010浙江)如图所示，在一次国际城市运动会
跟踪训练2．如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物 9
中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节(取g＝10m/s2)．求： (1)运动员到达B点的速度与高度h的关系．
(2)运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调
为多大？对应的最大水平距离smax为多少？ (3)若图中H＝4 m，L＝5 m，动摩擦因数μ＝0.2，则水
平运动距离要达到7 m，h值应为多少？
3．如图所示，质量为m的物体静止于光滑圆弧轨道的最低
点A，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F作用于
π
物体上使其沿圆周转过到达B点，随即撤去外力F，要
2使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F至少为多大？
4．在足球赛中，红队球员在白队禁区附近主罚定位球，并
将球从球门右上角贴着球门射人，如图所示，球门高度
1
．mv2 B．mgh2
11
C．mv2+mgh D．mv2-mgh
22
为h，足球飞人球门的速度为v，足球质量为m，则红队球员将足球踢出时对足球做功W为(不计空气阻力和足球的大小) ( )
课堂分组训练
A组 动能定理的简单应用
1．如图所示，用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始
在水平冰道上移动了l，拉力F跟木箱前进方向的夹角为α，木箱与冰道间的动摩擦因数为μ，求木箱获得的速度．
C组 利用动能定理求解多过程问题
5．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O
点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细
L
钉．已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度
2v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B．则：
(1)小球到达B点时的速率？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
(3)若初速度v0＝3gL，则在小球从A到B的过程中克
服空气阻力做了多少功？
2．质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到
地面进入沙坑h/10停止，则：
(1)钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？ (2)若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多
少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变．
B组 利用动能定理求功
10
6．如图所示，一半径为R的半圆形轨道BC与一水平面相
连，C为轨道的最高点，一质量为m的小球以初速度v0从圆形轨道B点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C，然后做平抛运动．求：
(1)小球平抛后落回水平面D点的位置距B点的距离． (2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点的过程中，克服
轨道摩擦阻力做的功．
一、选择题
1．(2011新课标)[多选]一质点开始时做匀速直线运动，从某
时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能可能( ) A．一直增大 B．先逐渐减小至零，再逐渐增大 C．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小 D．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大 2．[多选]如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，
在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参照物，A、
7．如图所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形
轨道光滑，半径分别为R、2R、3R和4R，R＝0.5 m，水平部分长度L＝2 m，轨道最低点离水平地面高h＝1 m．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P处，质量为m＝0.5 kg，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4．给钢球一初速度v0＝13 m/s．取g＝10 m/s．求：
(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的
压力．
(2)钢球落地点到抛出点的水平距离．
2
B都向前移动一段距离，在此过程中( )
A．外力F做的功等于A和B动能的增量 B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量 C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做
的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩
擦力所做的功之和
3．(2007上海)[多选]物体沿直线运动的v－t关系如图所示，
已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则( )
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W 4．(2009上海)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，
设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处，小球的动能是势能的2倍，到达最高点后再下落至离地高度h处，小球的势能是动能的2倍，则h
等于( )
H2H3H4HA． B． C． D．
99995．子弹的速度为v，打穿一块固定的木块后速度刚好变为
零．若木块对子弹的阻力为恒力，那么当子弹射入木块的深度为其厚度的一半时，子弹的速度是( ) v2vvA． B．v C． D．
22346．两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比
课后巩固提升
11
m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1.当两车急刹车后，
甲车滑行的最大距离为l1，乙车滑行的最大距离为l2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则( )
A．l1∶l2＝1∶2 B．l1∶l2＝1∶1 C．l1∶l2＝2∶1 D．l1∶l2＝4∶1 7．如图所示，ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC
的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC为水平的，其距离d＝0.50 m，盆边缘的高度为h＝0.30 m．在A处放一个质量为m的小物块并让其从静止出发下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC面与小物块间的动摩擦因数为μ＝0.10．小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停的地点到B的距离为( )
静止．动摩擦因数不变，其v－t图象如图所示，图中β<θ.若汽车牵引力做功为W，平均功率为P，汽车加速和减速过程中克服摩擦力做功分别为W1和W2，平均功率大小分别为P1和P2，下列结论正确的是( )
A．W1＋W2＝W B．P＝P1＋P2 C．W1>W2 D．P1＝P2
11．[多选]静止在粗糙水平面上的物块A受方向始终水平向
右、大小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运动，t＝4 s时停下，其v－t图象如图所示，已知物块A与水平面间的动摩擦因数处处相同，下列判断正确的是
A．0.50 m B．0.25 m C．0.10 m D．0 8．一个小物块冲上一个固定的粗糙斜面，经过斜面上A、B
两点，到达斜面上最高点后返回时，又通过了B、A两点，如图所示，关于物块上滑时由A到B的过程和下滑时由B到A的过程，动能的变化量的绝对值ΔE上和 ΔE
下
( )
A．全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功 B．全过程拉力做的功等于零
C．一定有F1＋F3＝2F2 D．可能有F1＋F3>2F2 12．如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿斜面向上
的恒力F作用下，能匀速沿斜面向上运动，若把此物块
，以及所用时间t上和t下相比较，有( )
A．ΔE上<ΔE下，t上 的重物，处于静止状态．手托重物使之缓慢上移，直到弹簧恢复原长，手对重物做的功为W1．然后放手使重物从静止开始下落，重物下落过程中的最大速度为v，不计空气阻力．重物从静止开始下落到速度最大的过程中，弹簧对重物做的功为W2，则( ) 放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能的大小为( ) A．mgh B．2mgh C．2Fh D．Fh 13．[多选]如图所示，质量为m1、长为L的木板置于光滑的 水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力的大小为Ff，用水平的恒定拉力F作用于滑块．当滑块从静止开始运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s，滑块速度为v1，木板速度为v2，下列结论中正确的是( ) m2g2m2g2 A．W1> B．W1< kk12m2g212 C．W2＝mv D．W2＝－mv 2k210．[多选]汽车在水平路面上从静止开始做匀加速直线运 动，到t1秒末关闭发动机做匀减速直线运动，到t2秒末 12 A．滑块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋s) 11 B．上述过程满足(F－Ff)(L＋s)＝mv2＋m1v212 22C．其他条件不变的情况下，F越大，滑块到达右端所
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