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（Ⅰ）求L的弧长；
（Ⅱ）设D是由曲线L，直线x?1，x?e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.
【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心
【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得
S??ee11?(y?)2dx??e1ee1111111?(x?)2dx??1?(x?)2dx??(x?)2dx 1122x22x22x111211?e2 ??(x?)dx?(x?lnx)?122x4241e（Ⅱ）由形心的计算公式，得
121x(x?lnx)dx?1?2 x?D?0?e41112dxdy??dy?1(4x?2lnx)dx?0dx?D14112121e??(e?e?)3(e4?2e2?3)1616422. ??313114(e?7)e??12122??xdxdy1dx?121x?lnx420121x?lnx420xdye22、（本题满分11分） 设A???1a??01?，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，B???，?1b10????并求所有矩阵C.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★
【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C??AC?CA?B可得 ?1a??x1x2??x1???xx???x?10??34??3x2??01??01??????x4??1b1b?????x1?x3x2??.由x4? 整理后可得方程组
专业资料--可修改
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??x2?ax3?0??ax?a?ax?1?124 ① ?x?x?x?1?134??x2?ax3?b由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：
?0?1a0???a10a?10?1?1??01?a00??1??1??0???01??b??00?1?10001?a1?a001??1??0??0???0a?1??b??0000?1?1000001?a1??0? ?a?1?b?方程组有解，故a?1?0，b?0，即a??1，b?0.
?1?0当a??1，b?0时，增广矩阵变为??0??00?1?11??1100? ?0000?0000?x3,x4为自由变量，令x3?1,x4?0，代入相应齐次方程组，得x2??1,x1?1
令x3?0,x4?1，代入相应齐次方程组，得x2?0,x1?1
故?1?(1,?1,1,0)T，?2?(1,0,0,1)T，令x3?0,x4?0，得特解??(1,0,0,0)T 方程组的通解为x?k1?1?k2?2???(k1?k2?1,?k1,k1,k2)T（k1,k2为任意常数）
?k1?k2?1?k1?所以C???. kk?12? 23、（本题满分11分） 设二次型
?b1?????b2?? ?b??3??a1???f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)，记???a2?，?a??3?（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2??T???T；
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（Ⅱ）若?,?正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12?y22
【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩
【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）证明：
f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)
?a1??x1??b1??x1??????????2(x1,x2,x3)?a2?(a1,a2,a3)?x2??(x1,x2,x3)?b2?(b1,b2,b3)?x2?
?a??x??b??x??3??3??3??3??x1????(x1,x2,x3)(2??T???T)?x2??xTAx，其中A?2??T???T
?x??3?所以二次型f对应的矩阵为2??T???T. （Ⅱ）由于?,?正交，故?T????T?0
因?,?均为单位向量，故???T??1，即?T??1.同理?T??1 A?2??T???T?A??(2??T???T)??2??T????T??2? 由于??0，故A有特征值?1?2.
A??(2??T???T)???，由于??0，故A有特征值?2?1
又因为r(A)?r(2??T???T)?r(2??T)?r(??T)?r(??T)?r(??T)?1?1?2?3， 所以A?0，故?3?0.
三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为2y12?y22.
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