因为E，F分别为PD，PA的中点，所以EF//AD，且EF=又因为BC//AD，BC?1AD. 21AD，所以EF//BC，且EF=BC，所以四边形BCEF为平行2四边形，所以CE//BF，又BF?平面PAB，所以CE//平面PAB.
PFABHQE
NMCD12. 平面ABD?（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A?BCD中，AB?AD，BC?BD，平面BCD， 点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上，且EF?AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD?AC． AEB FDC12.解析 （1）在平面ABD内，因为AB?AD，EF?AD，且点E与点A不重合，所以EF//AB.又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF//平面ABC. （2）因为平面ABD?平面BCD，平面ABDI平面BCD?BD，
BC?平面BCD，BC?BD，所以BC?平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC?AD.
又AB?AD，BCIAB?B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD?平面ABC.又因为AC?平面ABC，所以AD?AC.
13.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB?BC?（1）求证：直线CE//平面PAB；
1AD，?BAD??ABC?90o， E是PD的中点. 2
PMABCED
13．解析 （1）令PA的中点为F，联结EF，BF，如图所示．因为点E，F为PD，PA1的中点，所以EF为△PAD的中位线，所以EF//AD．又因为?BAD??ABC?90?，所以
=2BC∥AD．又因为AB?BC?11BC．从而四边形BCEF为AD，所以BC//AD，于是EF//==22平行四边形，所以CE∥BF．又因为BF?面PAB，所以CE∥平面PAB.
zPFMABxCM'OE Dy
题型94 与平行有关的开放性、探究性问题
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系
14. 平面ABD?（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A?BCD中，AB?AD，BC?BD，平面BCD， 点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上，且EF?AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD?AC．
AEB
FDC14.解析 （1）在平面ABD内，因为AB?AD，EF?AD，且点E与点A不重合，所以EF//AB.
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF//平面ABC. （2）因为平面ABD?平面BCD，平面ABDI平面BCD?BD，
BC?平面BCD，BC?BD，所以BC?平面ABD.
因为AD?平面ABD，所以BC?AD.
又AB?AD，BCIAB?B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， 所以AD?平面ABC.又因为AC?平面ABC，所以AD?AC. 15.（2017全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且
?BAP??CDP?90o.
(1)求证：平面PAB?平面PAD；
PDABC
15. 解析 （1）证明：因为?BAP??CDP?90o，所以PA?AB，PD?CD.
又因为AB∥CD，所以PD?AB.又因为PDIPA?P，PD，PA?平面PAD，所以AB?平
面PAD.
又AB?平面PAB，所以平面PAB?平面PAD.
16.（2017全国3卷理科19（1））如图所示，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，
?ABD??CBD，AB?BD．
（1）求证：平面ACD?平面ABC；
16．解析 ⑴如图所示，取AC的中点为O，联结BO，DO. 因为△ABC为等边三角形，所以BO?AC，AB?BC.
?AB?BC?由?BD?BD，得△ABD?△CBD，所以AD?CD，即△ACD为等腰直角三角形， ??ABD??DBC?从而?ADC为直角.又O为底边AC中点，所以DO?AC. 令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a，易得OD?222a3a，OB?， 22?，即OD?OB. 2所以OD?OB?BD，从而由勾股定理的逆定理可得?DOB??OD?AC?OD?OB??由?ACIOB?O，所以OD?平面ABC. ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又因为OD?平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC.
DECO BA题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无 第六节 空间向量与立体几何 题型97 空间向量及其运算 题型98 空间角的计算
17.（2017全国2卷理科10）已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ABC?120o，AB?2，
BC?CC1?1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）.
A．331510 B． C． D． 235517．解析 设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则AB1和BC1的夹角为MN和NPπ??1512夹角或其补角（异面线所成角为?0，?）.可知MN?AB1?，NP?BC1?，
2??22221取BC的中点Q，联结PQ,MQ,PM，则可知△PQM为直角三角形．PQ?1，MQ?AC.
2
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