数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案

第三章 三角恒等变换

一、选择题.

1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A. ?3 2B. ?

12C.

12D. 3 22. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．

31 C. 88π??π??3. 函数y =sin?x??sin?x?? 的周期为( )．

4??4??A. B.

34D.

14A.

π 4B.

π 2C. π D. 2π

4. 函数y = 2sin x(sin x + cos x)的最大值是( )． A.1?2

αα?cot22B.2?1 C.2 D. 2

5. 化简1?cos2α，其结果是( )．

tanA.?1sin 2α B.1sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α

226. 若sin(α + β)=1，sin(α - β)=1，则tanα为( )．

23tanβA. 5

π?4 B. - 1

? C. 6

D.1

6??7. 设tan θ和tan??θ?是方程x2 + px + q = 0的两个根，则p，q之间的关系是( )．

A. p + q + 1 = 0 C. p + q - 1 = 0

B. p - q + 1 = 0 D. p - q - 1 = 0

8. 若不等式4≤3sin2 x - cos2 x + 4cos x + a2≤20对一切实数 x都成立，则a的取值范围是( )．

A. -5≤a≤-3，或3≤a≤5 C. -3≤a≤3 9. 若α∈??π, ?B. -4≤a≤4

D. -4≤a≤-3，或3≤a≤4

3π?，则1?sinα?1?sinα等于( )． ?2?1?sinα?1?sinαA.tan 二、填空题.

α2B. sin

α2C. cot

α2D. cos

α21. 3?tan15?= ___________．

1?3tan15?精炼检测1

2. y = 3sin(x + 20°) + 5sin(x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________． 3. 若tan(α + β)= 7，tan α tan β =，则? cos(α - β)= ___________．

?4. 若θ为第二象限角，且sin??1223θ?23π?11?sinθ= __________． ?＞，则

θθ2?2cos?sin2215185. 若α，β，γ都是锐角，tan α=，tan β=，tan γ?=，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n∈Z，且A，B，C 均不为 0，则 tantan= __________．

三、解答题．

1. 已知α，β为锐角，cos α =，tan(α - β)= -，求cos β的值．

2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-，cos α + cos β =sin(α - β)的值．

?π??π?3. 已知tan A与tan??A?是x2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan??A?，求p和q的值．

?4??4?12A2BBCCA?tantan?tantan 2222245137，求cos(α + β)， 2

4. 证明：cos8 α - sin8 α - cos 2α = -sin 4α sin 2α．

精炼检测2

14参考答案 一、选择题．

1. B【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos(83° + 37°)= cos 120°= -12． 2. C【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30°

=12sin 150°sin 30°=18． 3. C【解析】y =

sin???x?π?4??π??22??22??sin??x?4?????sinx?cosx? ?sinx?cos?22????22x?? ?=1sin2 x-1cos2 x= -1cos 2x. ∴ 2π222T =

2?π． 4. A 【解析】y = 2sin x(sin x + cos x)

= 2sin2 x + 2sin xcos x = 1 - cos 2x + sin 2x

= 1 +2sin??π??2x?4??．

∴ ymax = 1 +2． 5. A【解析】

1?cos2α2cos2αtanαα?αα??cos2αsinαcosα??1sin2α2?cot22sin2cos?2cosαα2sin26. A【解析】sin αcos β + cos αsin β =12，

sin αcos β - cos αsin β =13． ∴ 2sin αcos β =56， 2cos αsin β =1tan?6．∴ tan?= 5． 7. B

??tan??tan??π????【解析】???4???p???tan?tan??π?

?4?????qtan??π?1?tanθ?4?θ???1?tanθ． ∴ p????1?tanθ?1?tanθ?tanθ?????1?tan2θ1?tanθ，

q?tanθ?tan2θ1?tanθ．∴ q - p = 1，

∴ p - q + 1 = 0．

8. D【解析】设 f(x) = 3sin2x - cos2x + 4cosx + a2，

4≤3 - 4cos2 x + 4cos x + a2≤20， 4≤- 4cos2 x + 4cos x + a2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =12时，

f(x)max =?4?1?4?142+ a2 + 3≤20?-4≤a≤4；

当 cos x = - 1时，

f(x)min = - 4 - 4 + a2 + 3≥4?a≥3，或a≤-3.

∴ -4≤a≤-3，或3≤a≤4． 9. C

【解析】1?sinα?1?sinα1?sinα?1?sinα

sin2α?cos2ααααααα?22?2sin2cos2?sin22?cos22?2sin2cos2

sin2α?cos2α?2sinαcosα?sin2α?cos2ααα222222?2sin2cos2sinα?cosα?αα?22sin2?cos2sinαααα． 2?cos2?sin2?cos2∵ α∈??π， 3π?α?π3π??2??，∴ 2∈??2， 4??． α∴ 原式 =sin2?cosααα2?sin2?cossinααα2α?cotα2． 2?cos2?sin2?cos2

精炼检测3

二、填空题． 1. 1． 【解析】3?tan15?tan60??tan15??= 1?tan60?tan15?1?3tan15?4. 1．【解析】∵ 2kπ+＜θ＜2kπ+π， ππθθ2242θ1θ1?θ3π?∵ sin??? = - cos＞，∴ cos＜-． 2222?22?π2∴ kπ+＜＜kπ+．∴在第一、三象限． tan(60o- 15o)= tan 45o= 1． 2. 7；-7． 【解析】y = 3sin(x + 20°)+ 5sin(x + 80°) = 3sin(x + 50° - 30°)+ 5sin(x + ∴ 2kπ+5πθ在第三象限，且2 kπ+＜θ＜243π，k∈Z. 2θ2θ2∴ cos＞sin．所以 50° + 30°) = 3sin(x + 50°)cos 30° - 3cos(x + 50°)sin 30° + 5sin(x + 50°) cos 30° + 5cos(x + 50°)sin 30° = 43sin(x + 50°)+ cos(x + 50°) = 7sin(x + 50° + ?)（? 为常数）． ∴ ymax = 7，ymin = - 7． 3. ?22． 【解析】∵ tan(α + β)= 7， ∴ 根据同角三角函数关系，得 cos(α + β)=?152． ∴ cos αcos β- sin αsin β =?152． ∵ tan αtan β =23， ∴ 3sin αsin β = 2cos αcos β．. cosαcosβ=3352cosαcosβ=-52∴或sinαsin?=252sinαsin?=-252 ∴ cos(α - β)=352?252?22，或cos(α - β)= ?3?25252??22. sinθ1?sinθ?cosθ???sinθ?cosθ???22 =?22?cosθθθθθθ= 1． 2?sin2cos2?sin2cos2?sin25. 45o． 7【解析】tan(α + β)=tanα?tanβ1071?tanαtanβ?9?9，10且α，β为锐角， ∴α + β为锐角，又γ为锐角， 且tan(α + β + 7γ)=tan(α?β)?tanγ?11?tan(α?β)tanγ?981?71= 1． 9? 8∴ α + β + γ = 45o． 6. 1． 【解析】原式 = tanB?2??tanAC?2?tan2??+ tanC2tanA2 = tanB?AC??AC?CA2tan??2??2???1-tan2tan2??+ tan2tan2 = tanBcotB???1-tanAC?CA222tan2??+ tan2tan2 = 1． 精炼检测4 三、解答题．

1. 【解】∵ cos α =45，

∴ sin α =35．

∵ α，β 为锐角， ∴ -π2＜α - β＜π2． ∵ tan(α - β)=?13，

∴ cos(α - β)=31010，sin(α - β)=?1010

cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos(α - β)+ sin αsin(α - β)=95010．

si?n?sin???12. 【解】

2 ① co?s?co?s?7

2 ② ①2

+ ②2

，得 sin2 α - 2sin α sin β + sin2 β + cos2 α + 2cos α cos β + cos2 β = 2.

∴ cos(α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =

π2， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -12． sin2α + cos2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =

14． 又sin2α + cos2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，

∴ sin α =

7?14． ∴ sin(α - β)= sin??π??α?2?α??= - cos 2α = 2

sin2α -1 = ?74． 3. 【解】∵ tan??π?A??4??=1?tanA1?tanA，

∴ 3tan A =2?2tanA1?tanA，

∴ tan A =13，或 tan A = - 2．

当tan A =1时，tan??π?13?4?A?? =2，

p = -??1?2?1?3?? = -56，

q =12×13=16．

当tan A = - 2时，tan??π?4?A??? = -3，

p = -(-2 - 3) = 5，

q = (-2)×(-3) = 6．

4. 【证明】cos8 α - sin8 α - cos 2α = (cos4 α + sin4 α)(cos2 α + sin2 α)(cos2 α - sin2 α)- cos 2α

= (cos4 α + sin4 α)cos 2α - cos 2α =(cos4 α + sin4 α - 1)cos 2α

= [cos4 α +(sin2 α - 1)(sin2 α + 1)] cos 2α = [cos4 α - cos2 α(sin2 α + 1)]cos 2α = - 2cos2 αsin2 αcos 2α = -14sin 4αsin 2α．

精炼检测5