第49讲 互斥事件和独立事件的概率及条件概率
夯实基础 【p106】
【学习目标】
1．了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．
2．理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率． 【基础检测】
1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.4 B．0.6 C．0.75 D．0.8
【解析】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，
P（AB）0.6∴P(B|A)＝＝＝0.8.
P（A）0.75【答案】D
2．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )
A.B.C.D.
【解析】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互42
独立，P(A)＝P(B)＝＝，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为P
1053316
＝1－P(AB)＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－×＝.
5525
【答案】C
3．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概
212164
525255
1
率为( )
A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1
【解析】A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A射击一次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，故概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.2×0.2＝0.04；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为0.9×0.1＝0.09，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1＋0.04＋0.09＝0.23.
【答案】A
4．一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B是“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．(P(B|A)为A在发生的条件下B发生的概率)
【解析】将产品进行编号，1，2，3号为一等品，4号为二等品，用(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品(i，j＝1，2，3，4)，
则试验的基本事件空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
则事件A包含9个基本事件，事件AB包含有6个基本事件， 根据条件概率公式P(B|A)＝2
【答案】
3【知识要点】
1．互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件(A∩B＝?)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，而A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)互斥事件的概率加法公式：
①P(A∪B)＝__P(A＋B)__＝__P(A)＋P(B)__(A，B互斥)．
②P(A1∪A2∪…∪An)＝__P(A1)∪P(A2)∪…∪P(An)__或P(A1＋A2＋…＋An)＝__P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)__．(A1，A2，…，An互斥)．
③对立事件的概率：P(A)＝__1－P(A)__． 3．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条
2
P（AB）62
＝＝. P（A）93
件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为__P(B|A)＝(2)条件概率具有的性质： ①__0≤P(B|A)≤1__；
P（AB）__．
P（A）②如果B和C是两个互斥事件，则__P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)__． 4．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称__事件A与事件B相互独立__．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝__P(B)__，P(AB)＝__P(A)P(B)__． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． 5．独立重复试验与二项分布
(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．
(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kk
n－k
，k＝0，1，2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记
作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
典例剖析 【p106】
考点1 互斥事件、对立事件的概率计算
例1设甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有m个黑球，n个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A：“两球同色”，事件B：“两球异色”，试比较P(A)与P(B)的大小．
【解析】基本事件总数为(m＋n)，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，mnmn2mn则P(A)＝2＋2＝2，
（m＋n）（m＋n）（m＋n）
“两球异色”可分为“甲白乙黑”或“甲黑乙白”， mnm＋n
则P(B)＝2＋2＝2，
（m＋n）（m＋n）（m＋n）（m－n）
∵P(B)－P(A)＝2≥0，
（m＋n）
∴P(A)≤P(B)，当且仅当“m＝n”时取等号．
【点评】理解互斥事件的含义是区别事件是否互斥的根本，在实际应用过程中若将复杂事件用分类的方法化归为若干个简单事件进行求解，实质上是化归为互斥事件的和求解．同时应注意应用对立事件研究问题，对立事件应用的问题情境是正面情形类别较多，而反面情形类别相对较少．
3
2
2
2
2
2
2
考点2 相互独立事件的概率计算
例2甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品1
而乙机床加工的零件不是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零412
件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是.
129
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率； 【解析】(1)设A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么
???－1?1
P（BC）＝，P（B）（1－P（C））＝， 即??1212
22??P（AC）＝，P（A）P（C）＝，??99
112
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
343
112
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为，，.
343
(2)设D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事2315－
件，则P(D)＝1－P(D)＝1－(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－··＝，
3436
5
即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是. 6【点评】相互独立事件同时发生的概率的2种求法 (1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式； (2)间接法：从对立事件入手计算．
1－
P（AB）＝，
41
P（A）（1－P（B））＝，4
考点3 条件概率及其计算
例3(1)抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，令事件A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P(A|B)等于( )
2134A.B.C.D. 5255
【解析】在事件B发生的条件下研究事件A，总共有5种结果，而事件AB只含有其中
4
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