?2u???f33?? ?(f11???0?f12???(?1)?f13???1)?(f31???0?f32???(?1)?f33???1) ??f12???f13???f32?y?x三、解答下列各题（每小题10分，共20分） 1．解： ??f?0??2xy(4?x?y)?x2y?0??x由?得?2 2?f??0?x(4?x?y)?xy?0???y解之得(0,y)(0?y?6),(4,0),(2,1) 仅(2,1)在D内，f(2,1)?4 在边界x?0和y?0上，f(0,y)?f(x,0)?0 在边界x?y?6(0?x?6)上，f(x,y)??2x2(6?x)有唯一驻点(4,2)，且f(4,2)??64 所以最大值f(2,1)?4，最小值为f(4,2)??64 2．解：增加曲面?1:z?1(x2?y2?1)，方向取下侧； 则???1构成一封闭曲面，方向为内侧 ,由高斯公式得 ???1??(y?12?x)dydz?(z2?y)dzdx?(x2?z)dxdy?????(?1?1?1)dxdydz?3?/2 ?又??(y2?x)dydz?(z2?y)dzdx?(x2?z)dxdy???(x2?1)dxdy?3?/4 ?1所以原式????1??????3?/4 ?1四、（10分）解：P?(lnx?f?(x))由已知得yxQ?f?(x)?P1?(lnx?f?(x))?yx?Q?f??(x) ?x1?P?Q?即(lnx?f?(x))?f??(x) ① x?y?x11令p?f?(x)则p??f??(x)，①式变为p??p?lnx xx由一阶线性微分方程求解公式得f?(x)?p?lnx?1?将f?(1)?0代入得C1?1，则f?(x)?lnx?1?所以f(x)?xlnx?lnx?2x?C2 1 xC1 x将f(1)?0代入得C2?2，则f(x)?xlnx?lnx?2x?2 下面求u(x,y) 用曲线积分（注意初始点的选取不能为y轴及左边的点），凑微分和待定函数法均可 本题凑微分法最佳 1y将f?(x)?lnx?1?代入表达式(lnx?f?(x))dx?f?(x)dy得 xx1y11(1?)dx?(lnx??1)dy?d((lnx??1)y) xxxx 6取u(x,y)?(lnx?1?1)y即可 x二○○八级 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分） 1．89 2． D 3．C 4．B 5．A 6．D 7． C 8．B 9．x2y2?lnxy?C 10．42 11.4πR4 12.0 二、解答下列各题（每小题8分，共40分） R??RR?0?y??x?R0?x????21．解：积分区域：D1:? ?D:?2,D2:?2?0?y?x??R2?y2?x?y22??0?y?R?x?原式＝?2．解：R20dy?R2?y2y?22(x?y)dx??4d??r2?rdr?00R?16R4 ?u?u?f1??yf2??yzf3?，?xyf3? ?x?z?2u?yf3??xy(f31???yf32???yzf33??) ?z?x?x?1(?1)n1(?1)nnn(x?1)，令t?t3．解：an?，级数变为?n3n?13n?1n?0 (?1)n(?1)n?1/?1 该级数的收敛半径R?limn??n?1n?2当t??1时，级数为?n?0?1，显然发散 n?1当t?1时，级数为?n?0?(?1)n，由莱布尼兹定理知其收敛 n?1x?1?1??2?x?4 3所以原级数的收敛域为?1?4．解：作周期延拓，得到一连续函数F(x)，满足收敛定理的条件，又易见它为偶函数，计算傅立叶系数如下： bn?0,(n?1,2,3,?)a0?121f(x)dx?2(2?x)dx?5 ??001an?1121n?xf(x)cosdx?2(2?x)cos(n?x)dx?2xcos(n?x)dx???00011 ??42[(?1)n?1]?22n?1,3,5,?????nn2?2?n?2,4,6,??0所以傅立叶展开式如下： 7f(x)?5411?2(cos?x?2cos3?x?2cos5?x??)(|x|?1) 2?35三、解答下列各题（每小题9分，共18分） 1．解：P(x,y)?yf(x)Q(x,y)?2xf(x)?x2 ?P?f(x)?y?Q?2f(x)?2xf?(x)?2x ?xL由于曲线积分?yf(x)dx?(2xf(x)?x2)dy在x?0内与路径无关 所以?P?Q??y?x?f(x)?2f(x)?2xf?(x)?2x，即f?(x)??111f(x)?1 2xdxdx2解此一阶线性微分方程得f(x)?e?2x(?1?e?2xdx?C)?x?1/2(x3/2?C) 3将f(1)?0代入得f(x)?21(x?) 3x2．解：增加曲面?1:z?1(x2?y2?1)方向取下侧，?2:z?2(x2?y2?4)方向取上侧；则???1??2构成一封闭曲面，方向为外侧 由高斯公式得???1??2??ydydz?xdzdx?z2dxdy????2zdxdydz??15? 2又??ydydz?xdzdx?z2dxdy???,??ydydz?xdzdx?z2dxdy?16? ?1?2所以原式????1??2??????????1?2?15? 2四、解下列各题（第一小题8分，第二小题6分，共14分） 1．解：距离平方和f(x,y,z)?(x?1)2?(y?1)2?(z?1)2?(x?2)2?(y?3)2?(z?4)2 ?2x2?2y2?2z2?6x?8y?10z?32 构造拉格朗日函数L?2x2?2y2?2z2?6x?8y?10z?32??(3x?2z) ?4x?6?3??0?4y?8?0?由Lx?Ly?Lz?L??0得? 4z?10?2??0???3x?2z?0解之得x?2163?2163?,y?2,z?，由于驻点唯一，且本问题的最小值一定存在，故点?,2,?即为所求 1326?1326?2．证明： 因为?dx?f(x)f(y)dy??dy?f(x)f(y)dx（交换积分次序）， 0x00xaaay? a0dx?f(x)f(y)dy??dx?f(y)f(x)dy（定积分与积分变量符号无关） x00aa8所以 左边??adx?af(x)f(y)dy??ady?yf(x)f(y)dx??adx?af(x)f(y)dy?ax000x?0dx?0f(y)f(x)dy 0x??a0??axf(x)f(y)dy??x0f(y)f(x)dy?dx??af(xa0)dx?0f(y)dy 右边??a0f(x)dx?a0f(y)dy 左边＝右边，结论成立。 二○○九级 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分） 1．C 2．B 3．A 4．D 5．0 6．?2?d??/20?0d??2cos?0f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr 7． C 8．C 9．?ln(1?x) 10．0 11.x2?xy?y2?y?C 12.C 二、解答下列各题（每小题8分，共32分） 1．解：积分区域分为D1:y??x,y??1围成和D2:y??x,x?1围成的两部分，注意对称性，原式?????????ydxdy?0?0?yydx??2DDD??1dy?y1213 或 原式??1dy?1x2?y2y(1?211?y22?1yxe)dx???1[y(1?y)?ye?yey2)dy???12?1y2dy??3 ??(?1)n?12．解：?ln(1?t)?tnt?(?1,1] n?1n)??x?(?1)n?1??1??f(xn(?1)nxn(?1)n?1n?10?n?1ntdt??n?1n?0tdt??n?1n(n?1)x 由级数在x??1处的收敛性和f(x)在x??1处的连续性得收敛域为[－1，1] 3．解：令L1:y?0,C?A ，则?L(exsiny?y)dx?excosydy?0 1P(x,y)?exsiny?yQ(x,y)?excosy，?P?excosy?1?Q?ex?y?xcosy 由格林公式得 ?xL?L(esiny?y)dx?excosydy 1??????Q??P?dxdy?dxdy1?D??x?y?????SD?? D24所以?L(exsiny?y)dx?excosydy??L?L?1?L?1?12?4， 4．解：?z?y?x3(xf11??xf2?)?x4f1??x2f2?， 9?2z?2z??4x3f1??2xf2??x4yf11???yf22?? ?x?y?y?x 三、解答下列各题（每小题9分，共18分） 1．解：点P到平面的距离为d?x?y?2z?21?1?(?2)222?x?y?2z?26 问题转化为求在z?x2?y2条件下f(x,y,z)?(x?y?2z?2)2的极值 构造拉格朗日函数L?(x?y?2z?2)2??(x2?y2?z) ?2(x?y?2z?2)?2?x?0?2(x?y?2z?2)?2?y?0?由Lx?Ly?Lz?L??0得? ?4(x?y?2z?2)???0?22??z?x?y11解之得x?y?,z?，由于驻点唯一，且本问题的最小值一定存在， 48?111?故点?,,?即为所求 ?448?2．解：由高斯公式得，原式????(y?z?x)dxdydz??dx??011?x0dy?1?x?y01(x?y?z)dz? 8四、解下列各题（每小题7分，共14分） 1．解：原方程变形得y??P(x)???y?ex(x?1)?，是一阶线性微分方程 x?1??,Q(x)?ex(x?1)? x?1?P(x)dx????Q(x)eP(x)dx??dx???ln(x?1),x?1dx??ex(x?1)?e??ln(1?x)dx??exdx?ex ?P(x)dxP(x)dx通解为y?e?(?Q(x)e?dx?C)?(x?1)?(ex?C) ， C为任意常数 2．证明：令F(x,y,z)?xyz?1，则Fx??yz,Fy??xz,Fz??xy 设M(x0,y0,z0)为曲面xyz?1上任何一点，则x0y0z0?1， 该点处的切平面方程为y0z0(x?x0)?x0z0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0 即y0z0x?x0z0y?x0y0z?3x0y0z0，或截距之积为3x0?3y0?3z0?27，结论得证。 10 xyz???1 3x03y03z0
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