三、理想气体
1、气体实验三定律
在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1 = P2V2或PV = 恒量
b、查理定律：一定质量气体体积不变时，
P1PP = 2或 = 恒量
TT2T1V1VV = 2或 = 恒量
TT2T1c、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，
【例题4】如图6-6所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管
长L = 100cm ，其中有一段长L′= 15cm的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱A长LA = 40cm。现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至A端气柱长LA? = 37.5cm为止，这时系统处于静止平衡。已知大气压强P0 = 75cmHg，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 。
【解说】在全过程中，只有A部分的气体质量是不变的，B部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题。
过程一：玻管旋转至竖直
A部分气体，LA′=
75PAL×40 = 50cm A = ?75?15PA此时B端气柱长LB′= L ? LA′? L′= 100 ? 50 ? 15 = 35cm
过程二：玻管出入水银槽
A部分气体（可针对全程，也可针对过程二），PA?=
?50LA?×60 = 80cmHg PA= ?37.5LAB部分气体，LB??PPB75?= ?LB?= ?0×35 ≈ 27.6cm LB=
80?15PA?PL?PB最后，h = L - LA?? L′? LB? 【答案】19.9cm 。
2、理想气体
宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。
微观特征：a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c、分子间的碰撞完全是弹性的。
*理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足，
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我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。
理想气体压强的微观解释：P = n?K，其中n为分子数密度（n = 3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体，
23N）。 VP1V1PVPV = 22或 = 恒量
TT2T1理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观
解释推导得出。
【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm ，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？
【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。
如果是前一种可能，似乎应该这样解：（76?20）?60PL76?96P1L1 = 22，即 = ，
300T2T2T1得：T2 = 380K
但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。
为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x 。从初态到这个一般的末态
（76?20）?60PLP(96?x)19.2TP1L1 = ，即 = ，得 P =
T96?xT300T1隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，
直至不等式取等号），而P ＞ 76 + x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。
所以，自动溢出的条件是：T ＞ 考查函数 y =
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（－x + 20x + 7296） 19.212
（－x + 20x + 7296）发现，当x = 10cm19.2时，ymax = 385.2K
而前面求出的x = 0时，T只有380K，说明后阶段无须升．．．．．．温，即是自动溢出过程（参照图6-8理解）。而T ＞ ymax即是．．．．．．．．．．题意所求。【答案】385.2K 。
a、推论1：
P1P = 2，此结论成功地突破了“质量
?2T2?1T1一定”的条件约束，对解某些特殊问题非常有效。
b、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为PV = ?RT ，其中?为气体
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的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。
c、推论2：气体混合（或分开）时，
P1V1PVPV + 22 + … + nnT2TnT1?PV，这个推论很容易T由克拉珀龙方程导出。
【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0 ，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P ，已知A和B的容积分别为VA和VB ，试求待测液体的温度。
【解说】本题是“推论2”的直接应用
P0(VA?VB)PVPVAT0PV = A + B【答案】TA = T0TAP0(VA?VB)?PVBT0【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该
图线是以C点为圆心的圆。P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0 ，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？
【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。
P1PPTP/T? = 2 ? 1 = 12 = 11
?2T2?1T1P2T1P2/T2?2此式表明，
PP越大时，ρ就越大。故本题归结为求的极大TT值和极小值。
方法一：P与T的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ
引入 y =
PP?rsin? = C ，然后求这个函数的极值… TTC?rcos?PP的几何意义可知，等于状态点到原点的连线与T轴夹角的正切值，TT方法二：见图6-11，从求
P的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显T然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。
θmax = α + β ，θmin =α ? β
而 tgα=
PC TCr22TC?PCsinβ= ? tgβ=
TC?T02TCT0
（注意：依题意，r = TC ? T0 ）
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所以 tgθ
max
=
P2TCT0?TC(TC?T0)tg??tg? = C
1?tg?tg?TC2TCT0?PC(TC?T0)P2TCT0?TC(TC?T0)tg??tg? = C
1?tg?tg?TC2TCT0?PC(TC?T0)PC2TCT0?TC(TC?T0)TC2TCT0?PC(TC?T0) tgθ
min
=
【答案】〔
PC2TCT0?TC(TC?T0)TC2TCT0?PC(TC?T0)〕/〔〕。
d、道尔顿分压定律：当有n种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种
气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + … + Pn 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算
a、理想气体的内能计算
由于不计分子势能，故 E = N·?K = NkT = N
i2iRiT = ?RT ，其中N为分子总数，?2NA2为气体的摩尔数。由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没
有关系。
b、理想气体的做功计算 气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计…），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功W总是对应P-V图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思——
①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如图6-3所示。
（☆学员思考：气体膨胀是不是一定对外做功？…）
c、吸放热的计算
初中所学的通式Q = cmΔT仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c会随着过程的不同而不同。
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