2015年12月线性代数复习题（参考答案）doc

《线性代数》复习题(2015年12月)

一. 单项选择题：

?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解, 则k?( ③ ). 1. 如果??kx?5y?z?0? ① －2 ② 0 ③ 1 ④ 2

?z?0?kx?2. 当k?( ④ )时, ?2x?ky?z?0仅有零解.

?kx?2y?z?0?①－2 ② 0 ③ 1 ④ 2

3. 下列关于行列式的描述中 ，( ③ )不能确定该行列式的值为零. ① 有两行相对应的元素相等 ②有一行元素全为0 ③ 有一列元素全为同一个数 ④ 有两列元素对应成比例 4. 设A,B,C均为n阶方阵, 且CBA?E, 则有( ④ ).

① CAB?E ②BCA?E ③ABC?E ④ACB?E 5. 设A,B均为n阶方阵, 则必有( ③ ).

①AB?BA ②(AB)?1?A?1B?1 ③ AB?BA ④(A?B)?1?A?1?B?1 6. 设A,B均为n阶方阵, 则必有( ② ).

① AB?AC,A?O?B?C ② (A?B)??A??B? ③ (AB)T?ATBT ④ A?B?A?B

?11?7. 方阵??相似于矩阵 ( ② ). 02???11??10??11???10?① ? ② ③ ④ ????????02??22??01??0?2?8. n阶方阵A与B是合同的，下列说法 ( ① )正确. ① r(A)?r(B) ② A?B ③ ?E?A??E?B ④ tr(A)?tr(B) 9. 设A是正定矩阵，则下列结论错误的是( ③ )． ① A?0 ② A是可逆矩阵

1

③A的元素全为正数 ④A的主对角线上的元素全为正数 10. 二次型f(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x22的正惯性指数是( ② ) .

① 1 ② 2 ③3 ④ 0

二. 是非判断题：

1. 若行列式D中某一行的元素全为0，则D?0. ( √ )

2. 已知含n个变量、n个方程的线性方程组的系数行列式D?0，则该方程组有唯一解. ( √ ) 3. n元齐次线性方程组的系数矩阵满足r(A)?n，则该方程组有唯一解. ( × ) 4. 设A,B为n阶方阵，则(A?B)(A?B)?A2?B2 .（ × ） 5. 设A,B,C是n阶可逆方阵，则(ABC)?1?A?1B?1C?1. ( × ) 6. 若AB?O，则A,B中至少有一个零矩阵. ( × ) 7. 向量个数大于向量维数的向量组线性相关. ( √ )

8. 某向量组有一部分组线性相关，则该向量组是线性相关的. ( √ ) 9. 某向量组有一部分组线性无关，则该向量组是线性无关的. ( × ) 10. n阶实矩阵A特征值全部为实数. ( × )

11. 对于任意n阶实对称矩阵方阵A，它一定可以对角化. （ √ ） 12.对任意n阶方阵A，若A的特征值全不为0，则A?0. （ √ ） 13. n阶矩阵A对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.( √ ) 14. 若A与B相似，则A?B. （ √ ）

?14??x1??14?15.二次型f(x1,x2,x3)?(x1,x2)?的矩阵为。( × ) ??????2?1??2?1??x2?2216. 二次型f(x1,?,xn)?x12?x2 ） ???xn?1是一个正定二次型.（ ×

三. 填空题：

1501．求行列式：a? a ；?210? 44 .

0042. 四阶行列式D中第三行元素依次为1，2，0，?4，若第一行元素对应的代数余子式依次为1，x，5，－1.则x? -5/2 .

2

3. 四阶行列式D中第三行元素依次为1，2，0，?4，若第三行元素对应的余子式依次为1，2，1，3，则D? 9 ；若第三行元素对应的代数余子式依次为1，2，1，3，则D? 17 .

4. 设A为三阶方阵，A?2，将A按列分块为A?(A1A2A3)，则

A3?3A13A2A1=-6 . 5.设A是三阶方阵，A??1,则A*? 1 ， 3A*?A?1? 64 . ??20?6. 设???，则?6? (?2)6?36?46656 . ??03?7.向量组?1?(1,1,?1)T，?2?(1,1,0)T，?3?(0,0,?2)T的秩为 2 . 8. 齐次线性方程组记为AX?O含5个方程4个变量的,其中r(A)?2，则它的基础解系含 n?r?4?2?2 个向量.

9. 二次型f(x1,x2,x3)??x12?7x22?2x32的正惯性指数为 1 ；负惯性指数为 2 ；规范形为 y12?y22?y32 ；秩为 3 . 10. 三阶方阵A与??diag(0,?1,2)合同，则二次型XTAX的正惯性指数 为 1 ；规范形为 y12?y22 ；秩为 2 . 11. 设n阶方阵A是正交矩阵，则A? 1或-1 ，A?1? AT . 12. 设三阶方阵A的特征值为?1,1,2,则A?1? A2?A? 0 .

1 ；A?5E? －72 ； 2（注明：复习两类知识点

一、相似矩阵的性质：有相同的特征多项式、特征值、行列式和迹

二、矩阵A的特征值相关结论：1.设n阶方阵A?(aij)的特征值为?1,?2,?,?n，则

3

（1）?1??2????n?tr(A)?a11?a22???ann

（2）?1?2??n?A

2.设方阵A的特征值为?，相应的特征向量为X，则有

特征值对应特征向量??矩阵??kA(k?0)k?X??kk?A(k?0)??X?? ?1?1?X?A???A*A???1X??F(A)F(?)X????3. 设方阵A的满足多项式F(A)?0,则它的特征值?是F(?)?0的根.）

111解： A的特征值为?1,1,2,则（1）A?1的特征值也为?1,1,,所以A?1?(?1)?1??

222（2）A?5E的特征根可由F1(?)???5计算分别得－6，－4，－3，所以A?5E??72 （3）A2?A的特征根可由F2(?)??2??计算分别得2，0，2，所以A2?A?0)

?x1?x2?3x3?x4?x5?0?四. 求线性方程组?2x1?x2?3x3?3x4?2x5?1的全部解.（要求用其一特解及其导

?x?2x?x?4x?3245?1出组的基础解系表示全部解）

解：线性方程组的增广矩阵为：

?1?1311?0??1?1311?0????03?310?1? A??21332?1??????12014?3????03?303?3???1?1311?0??10205?3????01?101?1?（注意：首非零所对应的??01?101?1??????0001?3??2????0001?3?2??变量x1,x2,x4，所以自由变量为x3,x5）

4