?（5）?2nn!2nn!n?1nn,你能求limn??nn吗？
（Ⅴ）运用莱布尼兹定理判别交错级数敛散性的题型.
6．（每题7?）判别下列级数的敛散性.若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛？ ?（1）
?(?1)n?1(n!)2? ; n?11n?1(2n)! （2）?(?1);
n?1n?1?（3）
?(?1)n?11ln(n?1).
n?1Ⅲ、提高题型
（ⅰ）综合运用审敛法判定数项级数敛散性的问题. ?7．（4?）设?为常数，则
?[sin(n?)n?1n2?1n]的敛散性--------------------------------（ A绝对收敛 B条件收敛 C发散 D敛散性与?取值有关. ??8．（4?）设??0，且
?a2n收敛，则
n?1?(?1)n|an|n?1n2的敛散性-----------------（??A绝对收敛 B条件收敛 C发散 D敛散性与?取值有关. 9．（每题7?）判别下列级数的敛散性： ??（1）
?1); （2）1(a?0);
n?1alnn(a?0?n?11?an??3（3）?n3sinn; （4）?(?1)nnn.
n?12n?1n?200510．（每题7?）判别下列级数的敛散性：
?4n?2n?11（1）?ln?1n ; （2）?(an?an?1)(a?1).
n?14?2n?1n?1（ⅱ）涉及抽象级数敛散性的证明. 11．（7?）设aan?1n?0,bn?0，且满足
a?bn?1,n?1,2,... nbn????求证：若
?bn收敛，则
an收敛；若
n发散，则
n发散.
n?1?n?1?an?1?bn?112．（8?）设a11?2,an?1?2(a?1na)(n?1,2,...)，证明： n（1）limn??an存在； （2）
??(ana?1)收敛. n?1n?1
. ）.
37
） 二、幂级数（A:§11.3,§11.4; B:§10.3,§10.4） Ⅰ、内容要求
（ⅰ）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念.
（ⅱ）熟练掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法.
（ⅲ）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，学会计算一些简单幂级数的和函数. （ⅳ）记忆e,sinx,cosx,ln(1?x)及x1的麦克劳林展开式. 1?x（ⅴ）学会利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数. （ⅵ）学会用幂级数进行一些近似计算（自学）. Ⅱ、基本题型
（ⅰ）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法. 13．（4?）设幂级数
?an?1?n(x?1)n在x?0处收敛，在x?2处发散，则该幂级数的收敛域
为____________________. 14．（每题7?）求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：
?xn2nnx; （1）?(?1) ; （2）?2nn?1n?1n?1?n?1nlnnnnx. （3）?[(x)?(4x)] ; （4）?2n?1n?1n?15．（每题7?） 求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域： （1）
?n?4n?1??n?1x3n?1?x; （2）?; nn?1(2n?1)22n?（3）
?nn?122n?1nx(x?1); （4）?n1(x?1)npn?1n?(p?0).
（ⅱ）利用e,sinx,cosx,ln(1?x),展开成幂级数. 16．（每题4?）填空题：
1的麦克劳林展开式将一些简单的函数用初等方法1?x（1）e的麦克劳林展开式为_________________________________________. （2）cos2x的麦克劳林展开式为________________________________________. 17．（每题7?）将下列函数展开为x的幂级数，并指出展开式成立的区间： （1）
x21; （2）ln(2?x); 2x?5x?622（3）sinx; （4）ln(x?3x?2).
18．（每题7?）将下列函数在指定点x0处展开成(x?x0)的幂级数，并指出展开式成立的区间：
38
（1）
1xx??4， ; （2），x0?1. ln0x?1x2?3x?2Ⅲ 、综合题型
（ⅰ）求幂级数的收敛域，并利用逐项求导，逐项积分或初等方法求幂级数的和函数，并由此确定某些常数项级数的和.
?xn(?1)n. 19．（7?）求幂级数?的收敛域，并求其和函数，并计算?n?1n?1n?0n?0??2n?12n2n?1x. 20．（7?）求幂级数?的收敛域，并求其和函数，并计算?nn33n?0n?0??1?n2nn2?1x的收敛域，并求其和函数，并计算?. 21．（7?）求幂级数?n!n!n?0n?0?Ⅳ、提高题型
（ⅰ）较为复杂的幂级数收敛域的求法.
anbnn?2)x22．（7?）求?(nnn?1??(a?0,b?0)的收敛域.
(x2?1)n23．（7?）求级数?的收敛域.
n(n?1)n?1（ⅱ）将较为复杂的函数展开为x的幂级数. 24．（7?）将f(x)?ln(x?x2?1)展开成x的幂级数.
x2?1展开为麦克劳林级数.
25．（7?）将f(x)?xarctanx?ln*三、傅里叶级数（A:§11.7,§11.8）
Ⅰ、内容要求
（ⅰ）了解傅里叶级数的概念和狄里克雷收敛定理，记忆傅里叶系数公式. （ⅱ）学会将定义在[??,?]上的函数展开为傅里叶级数. （ⅲ）学会将定义在[0,?]上的函数展开成正弦级数与余弦级数. （ⅳ）自学一般周期函数的傅里叶级数. Ⅱ、基本题型
（ⅰ）计算傅里叶系数（对定积分要求不高）.
26．（4?）设函数f(x)为定义在R内以2?为周期的周期函数，其在一个周期x?[??,?)内
?a0??(ancosnx?bnsinnx)，则的解析式为f(x)??x?x，若f(x)的傅里叶级数为
2n?12系数b3?________________.
39
27．（4?）设f(x)为定义在R内以2?为周期的周期函数，并满足狄里克雷收敛条件，若
f(x)为奇函数，则an?___________; 若f(x)为偶函数，则bn?_________________.
（ⅱ）用狄里克雷定理判定以2π为周期的函数f(x)的傅里叶级数在某些点的收敛情况.
??1,???x?0?28．（6?） 设f(x)??，则以2?为周期的傅里叶级数在x?0处收
2?1?x,0?x???敛于_______________; 在x??处收敛于________________________. （ⅲ）将周期为2?的简单函数展开成傅里叶级数.
29．（每题7?）设f(x)为周期为2?的周期函数，它在区间[??,?)上的表达式为 （1）f(x)???0,???x?0 ;
?k,0?x??（2）f(x)???bx,???x?0(a?b?0).
ax,0?x???将其分别展开成傅里叶级数.
Ⅲ、提高题型
（ⅰ）将[??,?]或[0,?]上的函数展开成傅里叶级数. 30．（7?）将f(x)???x2??x31．（7?）将f(x)?,(0?x??)分别展开成正弦级数和余弦级数.
2?11??2cos2nx，并求?2及32．（7?）求证：0?x??时，有x(x??)??6n?1nn?1n,|x|??展开成傅里叶级数.
?2?(?1)n?1. ?2nn?1?（ⅱ）一般周期函数的傅里叶级数.（自学）
33．（7?）设f(x)是周期为2的奇函数且在[0,1]上的表达式为f(x)?x(1?x)，将f(x)展
(?1)n?1开为傅里叶级数，并求级数?之和. 3n?1(2n?1)? 40
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