（1）(1?e)yy??e,y(0)?1 ; （2）y??3（ⅲ）y???()型的简单微分方程. 8. （每题7?）求下列微分方程的通解： （1）y'?xxx?y,y(0)?1.
yx2x?3yyy ; （2）y'??tan. xxx（ⅳ）y??P(x)y?Q(x)型的简单微分方程. 9．（每题7?）求下列微分方程的通解：（每题7分） （1）y??y?e?x ; （2）y??ycosx?e?sinx;
（3）y?cosx?ysinx?sin2xcosx ; （4）xdy?ydx?sinxdx. 10．（每题7?）求下列微分方程的特解：
（1）y??xy?x,y(0)?1 ; （2）y??ycotx?cscx,y()??;
?2（3）xdy?(2xy?x?1)dx?0,y(1)?0.
Ⅲ、综合计算及应用题型
（ⅰ） 涉及到变量可分离或一阶线性微分方程的有关综合题（含简单的应用题）. 11．（7?）设f(x)?cosx?2??f(t)sintdt，求f(x).
x12．（7?）设有一条连接A(0,1),B(1,0)两点的曲线，它位于弦AB之上，P(x,y)为曲线上任一点，已知曲线与弦AP之间（位于弦AP上方）的面积等于P点横坐标的立方，求该曲线方程.
13．（7?）设f(x)在[1,??)上连续，若由曲线y?f(x)，直线x?1,x?t(t?0)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转地一周所成的旋转体体积为V(t)??3[t2f(t)?f(1)]，求
y?f(x)所满足的微分方程，并求该方程满足y(2)?*14．（7?）设曲线积分
2的特解. 9?Lyf(y)dx?x[f(y)?yey]dy在上半平面与路径无关，f(y)可导，
且f(1)?e，求f(y).
15．（7?）将质量为m的物体垂直上抛，假设初始速度为v0，空气阻力与速度成正比，比例系数为k，试求物体上升过程中速度与时间的函数关系. 16．（7?）冷却定律指出，物体在空气中冷却速度与物体和空气温度之差成正比．已知空气温度为30℃时，物体由100℃经15 min冷却到70℃，问该物体冷却至40℃需用多长时间？ 17．（7?）某商店的经营成本y随销售收入x的增加的变化率等于销售收入与成本之差再加常数2，并且销售收入为零时的成本为5，求成本函数.
45
18．（7?）特技跳伞运动员在离开飞机一段时间后才打开降落伞.设此时（t?0）运动员下落的速度是60m/s，打开伞后受到的空气阻力R与速度成正比，比例系数为k，运动员及所携带的装备的总重量为mkg，求打开伞后运动员速度的变化规率. Ⅳ、提高题型
（ⅰ）难度较大的计算或综合应用题型. 19．（每题7?）求下列微分方程的解： （1）y??y? ; （2）(x?siny)dy?tanydx?0,y(0)?;
2(lny?x)2（3）ydx?(x?x2?y2)dy.
20．（7?）设f(x)是正值连续函数，f(0)?1，且对任何x?0，曲线y?f(x)在[0,x]上的一段弧长总是等于由过x轴上点x且垂直于x轴的直线及x轴，y轴与这段弧围成的曲边梯形面积，求这条曲线的方程.
21．（7?）设某种商品的需求量D与供给量S各自对价格p的函数为D(p)?a，p2S(p)?bp，价格p是时间t的函数，且p关于时间的变化率与D(p)?S(p)成正比，比
例系数为k，其中a,b,k都是正常数，试求：（1）需求量与供给量相等时的均衡价格pe；（2）t???时，p(t)的极限.
22．（7?）某剧场刚散场时，剧场内空气中CO2的含量是4%，现在每分钟输入1000m的新鲜空气，其中，CO2的含量是0.02%，剧场的容积是10000m.假定输入的新鲜空气很快地就与原有空气混合均匀后，以相同的流量排出.问经过多长时间后剧场内空气中CO2的含量降至1%？
三、二阶微分方程（A:§12.6,§12.7,§12.8,§12.9; B: §11.4§11.5,§11.6） Ⅰ、内容要求
（ⅰ）学会用降阶法解下列方程：y\?f(x),*y???f(x,y?)，*y???f(y,y?). *（ⅱ）理解二阶微分方程解的结构.
（ⅲ）掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法.
（ⅳ）学会确定自由项形如Pn(x)e的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式，自学自由项形如e(Acos?x?Bsin?x)的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式.
?x?x33 46
Ⅱ、基本题型
（ⅰ）y\?f(x)的求解.
23．（每题7?）求解下列二阶微分方程： （1）y\?12x; （2）y???e?cos3x. x*（ⅱ）简单的y???f(x,y?)类型的求解. 24．（每题7?）求解下列微分方程：
（1）xy???y??2x; （2）(1?x)y???2xy??0. *（ⅲ）有关二阶微分方程解的结构的客观题.
25．（4?）已知：y1?cos?x,y2?3cos?x是y\??y?0的解，则y?c1y1?c2y2（c1,c2为任意常数）应是--------------------------------------------------------------------------------（ ）. A该方程通解 B该方程特解
C该方程的解，但不是通解，也不是特解 D不一定是方程的解.
26．（4?）已知：y1,y2为y\?P(x)y'?Q(x)y?0的两个线性无关的特解，y3是
22y\?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的一个特解，则y\?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的通解可表示为
________________________________.
27．（4?）已知：y1,y2为y\?P(x)y'?Q(x)y?f(x)的两个特解，则下列必成为
y\?P(x)y'?Q(x)y?0特解的是-------------------------------------------------------------（ ）.
Ay1?y2 By1?y2 （ C）y1.y2 D（ⅳ）二阶常系数线性齐次微分方程的求解. 28．（每题7?）求解下列二阶微分方程：（每题7分）
（1）y???5y??6y?0; （2）y???2y??y?0满足y(0)?4,y'(0)??2; （3）y???4y??0 ; （4）y???4y?0.
（ⅴ）求自由项形如Pn(x)，或Ae的二阶常系数线性非齐次微分方程的通解. 29．（每题7?）求解下列二阶微分方程：
（1）y???2y??3y?6x?1 ; （2）y???2y??3y?e?x?3xy1. y2?x.
（Ⅵ）确定自由项形如Pn(x)e的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式，以客观题形式出现.
47
30．（4?）微分方程y????y??xe的一个特解可设为-----------------------------------（ ）.
2?x2?xA(ax?b)e Baxe C(ax?b)e D(ax?bx)e.
2?x?x?x31．（4?）微分方程y???4y??4y?(x?1)e222x的一个特解可设为--------------------（ ）.
2x22xA(ax?b)e Bx(ax?bx?c)e
Cx(ax?b)eⅢ、提高题型
222x Dx(ax?bx?c)e222x.
*（ⅰ）y???f(y,y?)类型方程的求解. 32．（每题7?）求解下列微分方程：
（1）y???1?y?2?0; （2）y???(y?)?y?. （ⅱ）二阶常系数线性非齐次微分方程在初始条件下的特解确定. 33．（7?） y???y?sin2x?0,y(?)?1,y?(?)?1. 34．（7?） y???4y?31(x?cos2x),2xy(0)?y?(0)?0.
（ⅲ）涉及二阶微分方程的综合题（含应用题）.（自学）
35．（7?）设函数u的全微分du?[e?f?(x)]y?f?(x)dy，其中f在R内有二阶连续的偏导，且f(0)?4,f?(0)?3，求f(x)及u．
36．（7?）设圆柱形浮筒的直径d?0.5米，铅直地置于水中.当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量.
（ⅳ）二阶以上的常系数线性齐次方程的通解确定.（自学） 37．（7?） y
(4)?2y????5y???0.
48
相关推荐：
loading