由正弦定理、折射定律和小角度近似得
AF1?R1sinr1r11??1?? （1） R1sin(i1?r1)i1?r1(i1/r1)?1n?1即
AF11?1? （2） R1n?1光线PF1射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心C2一定在端面顶点B的左方，C2B等于球面的半径R2，如图复解18-1-1． 仿照上面对左端球面上折射的关系可得
BF11?1? （3） R2n?1又有 BF1?L?AF1 （4） 由（2）、（3）、（4）式并代入数值可得 R2?5cm （5） 即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
2. 设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过C1，②过A，如图复解18-1-2所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求M点的位置。在?AC1M中
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R1AMAC?? （6）
?sin(???1)sin?1sin(?1??1)又 nsin?1??sin?1 （7） 已知?1，?1?均为小角度，则有
AM?1
?R11?1(1?)n （8）
与（2）式比较可知，AM?AF1，即M位于过F1垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从M射出C2的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为?2，由图复18-1-2可得
?1C1F1AF1?R1 （9） ???2C2F1BF1?R2由（2）、（3）式可得
AF1?R1BF1?R2则
?R1 R2?2R1??2 （10） ?1R2
第17届预赛
三、参考解答
物体S通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为A和B，S作为物，通过玻璃板H的下表面折射成像于点S1处，由图预解17-3，根据折射定律，有
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n?sini?nsinr
式中n??1.0是空气的折射率，对傍轴光线，i、r很小，sini?tani，sinr?tanr，则
ADAD ?nSAS1A式中SA为物距，S1A为像距，有
S1A?nSA （1） 将S1作为物，再通过玻璃板H的上表面折射成像于点S2处，这时物距为
S1B?S1A?AB．同样根据折射定律可得像距
S2B?S1B （2） n将S2作为物，通过透镜L成像，设透镜与H上表面的距离为x，则物距u?x?S2B．根据题意知最后所成像的像距v??(x?SA?AB)，代入透镜成像公式，有
111?? （3）
x?S2Bx?SA?ABf由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得
x?1.0cm （4） 即L应置于距玻璃板H上表面1.0 cm 处。
第17届复赛
二、参考解答
在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图复解17-2所示，图中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G，按照光的折射定律有
n0sin??nsin? （1） 式中?与?分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知 sin??l （2） r23 / 31
激光光束经两次折射，频率?保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和p?相等，即 p?h??p? （3） c式中c为真空中的光速，h为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的光束中光子的动量p?沿DE方向，光子动量的方
向由于光束的折射而偏转了一个角度2?，由图中几何关系可知 2??2(???) （4）
若取线段GN1的长度正比于光子动量p，GN2的长度正比于光子动量p?，则线段N1N2的长度正比于光子动量的改变量?p，由几何关系得 ?p?2psin??2h?sin? （5） c?GN1N2为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量?p的方
向沿垂直CD的方向，且由G指向球心O．
光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即 ?t?2rcos? （6）
cn0/n式中cn0/n是光在小球内的传播速率。
按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为 f??pn0h?sin? （7） ??tnrcos?按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小F?f，即 F?n0h?sin? （8）
nrcos?力的方向由点O指向点G．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得
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nlh? F?02nr?r2?l2?1?22(nr/n)?l?0??? （9） ??评分标准：本题20分
（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。
六、参考解答
1．由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图复解17-6-1为纵剖面内的光路图，设由O点发出的与轴的夹角为
?的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i．该光线在光纤中多次反射时的
入射角均为i，射至出射端面时的入射角为?．若该光线折射后的折射角为?，则由几何关系和折射定律可得
i???90? （1） nAsin??nFsin? （2）
当i大于全反射临界角iC时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而i?iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未
到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于iC，iC的值由下式决定
nAsiniC?nB （3）
与iC对应的?值为
?C?90??iC （4）
当?0??C时，即sin?0?sin?C?cosiC?1?sin2iC?1?(nB/nA)2时，或
22时，由O发出的光束中，只有???C的光线才满足i?iC的条件，才nAsin?0?nA?nB能射向端面，此时出射端面处?的最大值为
?max??C?90??iC （5）
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