高阶常微分方程的微分算子法
高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程y????2y???3y??0的通解. 解 记y(n)
3.求解 y????3y???9y??13y?0
32 解 写成 (D?3D?9D?13)y?0 2 或 (D?1)(D?4D?13)y?0 2 特征方程 (D?1)(D?4D?13)?0有根
D??1,2?3i，故对应的特解是e，ecos3x，
?x2x?Dny，将方程写成 2e2xsin3x 从而通解是
?x2x2x y?C1e?C2ecos3x?C3esin3x
D3y?2D2y?3Dy?0 或(D?2D?3D)y?0 我们熟知，其实首先要解特征方程 34.求y(4)?4y????5y???4y??4y?0之通解.
解 写成
432 (D?4D?5D?4D?4)y?0 22 或 (D?2)(D?1)y?0
D3?2D2?3D?0 ?x3x得D?0,?1,3故知方程有三特解1,e,e，由于此三特解为线性无关，故立得通解 y?C1?C2e?x 特征根是D?2,2,?i，对应的特解应是
?C3e 3xe2x,xe2x,cosx,sinx，故写成通解
注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 y(x)?e2x(C1?C2x)?C3cosx?C4sinx
?15.求y???y?(cosx)的通解
dnydn?1ydyLn(y)?n?a1(x)n?1?L?an?1(x) dxdxdx ?an(x)y?f(x)其中系数a1(x),L,an(x)是某区间(a,b)上的连续函数，上述方程又可写成 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程
2y???y?0的通解，写成(D?1)y?0，可知特征根为?i，相应的通解为y1?C1cosx?C2sinx
设原方程有特解形为
y*?C1(x)cosx?C2(x)sinx
其中C1,C2为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组
Ln(y)?(D?a1(x)Dnn?1?L?a(x))y ?f(x) 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各ai(x)均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 y????6y???11y??6y?0 32 解 写成 (D?6D?11D?6)y?0 ??C1?(x)cosx?C2?(x)sinx?0 ?
?1??C1?(x)(cosx)??C2?(x)(sinx)??(cosx) 或
从特征方程 0?D?6D?11D?6 32?(D?1)(D?2)(D?3) 解得 D?1,2,3共三实根，故可立即写成特解 x2x3x y?C1e?C2e?C3e ??C1?(x)cosx?C2?(x)sinx?0 ?
?1???C1?(x)sinx?C2?(x)cosx?(cosx)?1 (方程组右端为原方程非齐次项(cosx))，解得
sinx C1?(x)??，C2?(x)?1
cosx 或 C1(x)?lncosx，C2(x)?x
最后得通解为
y(x)?y1(x)?y*(x)
?C1cosx?C2sinx?cosxlncosx ?xsinx
1
注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程 (1)y?2y????4y???2y??5y?0
(2)4y???8y??5y?0
(4)使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法
9.求解
2 y???5y??6y?x
2解 写成 (D?2)(D?3)y?x
x?x解 (1)y?C1e?C2e
?x ?e(C3cos2x?C4sin2x)
故对应齐次方程(D?2)(D?3)y?0的通解为
?2x?3x y1(x)?C1e?C2e
**今用下法求原方程的一个特解y(x)，显然y(x)满足
*2 (D?2)(D?3)y?x
(2)y?e(C1cosxxx?C2sin) 227.求解下列cauchy问题
(1)y????3y???3y??y?0;
y(0)?1,y?(0)?2,y??(0)?3
(2)y????y???0;y(0)?1,y?(0)?0,y??(0)?1
x解 (1) y?e(1?x)
?x(2) y?x?e
8.求解非齐次方程
*今用下法求出y(x)
y???21y??y?(x?0) xx解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程y???2y??y?0的两个线性无关的特解。现设用x观察法得到两个特解 y1?令
sinxcosx,y2? xxsinxcosx?C2(x) xxy(x)?C1(x)考虑方程组
cosx??sinx?C(x)?C(x)?02??1xx ?
sinxcosx1?C?(x)()??C2?(x)()??1?xxx?最后解得
C1(x)?sinx，C2(x)?cosx 故原方程的通解为 y(x)?C1sinxcosx1?C2? xxx注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的
是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免
1x2
(D?2)(D?3)11?(?)x2D?2D?311?x2?x2D?2D?31111?x2?x221?D31?D231DD2?(1???L)x22241DD2 ?(1???L)x23３９1DD22?(1??)x2241DD22 ?(1??)x3３９111?(x2?(x2)??(x2)??)224111 ?(x2?(x2)??(x2)??)3391112x2
?(x2?x?)?(x2??)223391519?x2?x?618108y*(x)?通解为
y(x)?y1(x)?y*(x)
?C1e?2x?C2e?3x12519
?x?x?618108注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是
2
将求导运算D同时当作数与运算来处理，上法中1视为(D?2)(D?3)的逆运算，经分(D?2)(D?3)1层部分分式后，又将D作为数，将展开或读作1?D2除数，最后，又将D,D,L恢复其运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。 上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。 10.给定一个微分算子 Ln对应)，则 1kx1kxe?e LnF(k) 当??k时 11kxekx?e D??k??11ekxgf(x)?ekxf(x) (2)Ln(D)Ln(D?k)特别 Ln?Dn?a1Dn?1?L?an?1D?an (ai,i?1,2,L,n为常数) 则对任一有n次导数的函数g(x)，得到唯一的函数f(x) Ln(g(x))?f(x) 今定义逆运算1(f(x))?g(x) Lng恰为微分方程Ln(g(x))?f(x)的一个特解。 证明下列事实： (1)给定f后，g不唯一 (2)对任一常数a,b及连续函数h(x),g(x)，有下式成立 11kxkxegf(x)?ef(x) mm(D??)(D)(3)当F(?)为偶次多项式，F(ik)?0，则 11sinkx?sinkx，其中i??1 Ln(D)F(ik)对coskx也有类似公式 特别，对一般的Ln(D)，当F(ik)?0时， 11sinkx?Ln(?D)sinkx Ln(D)Ln(?ik)Ln(ik) kxkx证明 (1)因(D??)e?(k??)e，故有 e于是 kx?(k??)1ekx (D??)111(ah(x)?bg(x))?a(h(x))?b(g(x)) LnLnLn (3)设有另一微分算子11ekx?ekxLn(D)(D??1)L(D??n) ?Lm?Dm?a1Dm?1?L?am，则 1111(g(x))?(g(x)) LnLmLLmn (4)有下式成立 1ekx (D??1)L(D??n?1)(k??n)1kxeF(k) ?Lkx(2)(D??)eg(x) 11(g(x))?(g(x)) Ln(D??1)?1L(D??k)?k证明 (1)设g1(x)是方程Ln(y)?0的特解，则有 Ln(g(x)?g1(x))?Ln(g(x))?f(x) 故 ?kekxg(x)?ekxg?(x)?ekxg(x)g? ?e[Dg(x)?(k??)g(x)]kx ?ekx(D?k??)g(x)今令 1(f(x))?g(x)?g1(x) Ln (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出 11.给定Ln如上题，证明下列性质： (1)F(k)?0，此处F(?)??n?a1?n?1?L?an?1??an为多项式(与设1(f(x)) D?k??则(D?k??)(g(x))?f(x)，代入上式得 1kx(f(x))?ekxf(x) (D??)eD?k??11kx(f(x))?ekxf(x) 或eD?k??(D??) g(x)?一般公式可由此逐步推出 3
(3)因D2(sinkx)?(ik)2sinkx，故 y(x)?1 (D2??)sinkx?((ik)2??)sinkx D2?4D?42e2x从而 ?21sinkx?((ik)2??)1(D?2)2e2x D2??sinkx 当F(?)为偶多项式时 ?2x21e2x2?x2e2x L2??2n(D)?(D1)L(D?k)， 14.解y???y?ex
故一般公式由上式逐步推出 解 y(x)?1注 (1)1D2?1ex?11(D?1)(D?1)ex L还有另一性质，我们述而不论： n1 ?11mm?12D?1ex?12ex1Dg1?12xex
Dn?an?1(x?b1x?L1D?L?an?1D?an得通解为 ?b y(x)?1xm?1x?bm)?2xe?C1ex?C2e?x ?(??im如不懂，可参看我在豆丁上 iD)(x?L?bm)上传的《陈文登考研数学一15.求下面方程特解
i?0 y???5y???5x2?2x
m里面的微分算子法的推导》 ???iDi(xm?L?bm)解 y(x)?1(?5x2r?0D2?5D?2x) (2)当F(ik)?0时，此时宜用Euler公式 eikx?coskx?isinkx ?11DD?5(?5x2?2x)(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础 由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求?(?1解题技巧来说，可以不必追求细节。 5)11DD(?5x2?2x)1? 512.求下面方程的特解 ?(?1)1[1?D?(D)2](?5x25D55?2x) d2ydx2?y?6e2x ?(?1121解 y(x)?1(6e2x)?61x5)D[?5x?2x?5(?10x?2)D2?122?1e2?2e2x ?113.求方程y???4y??4y?2e2x的一个特解 25(?10)]解 y(x)?1?(?11D2?4D?42e2x 5)D[?5x2]?212x?1(D?2)2eDx2?13x316.求y???6y??5y??3ex?5x2 ?2e2x1(D?2?2)2g1 解 显然y(x)?y1(x)?y2(x)
?2e2x1 其中y11(x)?D2g1D2?6D?5(?3ex) 设1
1D2g1?g(x)，则D2g(x)?1，即可知 (D?1)(D?5)(?3ex) g(x)?1 y12x2故最后可得 2(x)?(D?1)(D?5)(5x2) y(x)?x2e2x 今有
也可以直接安照文登考研书的解法即 4
11x11xe?(?3)e
D?1D?5D?11?531x3x13?e?eg1?xex 4D?14D4111y2(x)?(??)(5x2)
4D?1D?51111?(?)(5x2)41?D51?D5y1(x)?(?3)11DD22?(1?D?D?(1??))(5x2) 455256212??x?x2255最后得
cosx1?sin2x ((2i)2?4)2820.求y???y?2sinx的特解 2解 因(i)?1?0，上法无效，今取 1ix?ix sinx?[e?e](*) 2i ?(D?2)2则特解 3x6212xe??x?x2 425517.求y???y?6cos2x?3sin2x的特解 解 y(x)?y1(x)?y2(x)
11?26cos2x?23sin2xD?1D?111cos2x?3sin2x ?6(2i)2?1(2i)2?1??2cos2x?sin2x y(x)?18.求下面方程的特解
y???y??y??13sin2x 解y(x)?1(?13sin2x) 2D?D?11?[(?D)2?D?1](?D)2?D?11 ?2(?13)sin2xD?D?11?[D2?D?1]4(?13)sin2x2D?D?11?(?13)(D2?D?1)sin2x42(2i)?(2i)?111ix?ix([e?e]) D2?1i111?([2eix?2e?ix])iD?1D?1111?ix?[eixg1?eg1]22i(D?i)?1(D?i)?111111 ?[eixg1?e?ixg1]iD?2iDD?2iD111?[eixx?e?ixx]iD?2iD?2i1?2lm[eixx]D?2i lmz表示复数zi虚部，今 111ixx?eixx eDD?2i2i1?2i1D11?eix[1?]x?eix(x?)2i2i2i2i 1x1?cosx?sinx?i(xcosx?sinx)422 y(x)? 故 y(x)??xcosx?21.求下面方程的特解 1sinx2 x y???y?ecosxgx 解 今有 ??(D2?D?1)sin2x?3sin2x?2cos2x19.求下面方程的特解
y???4y??4y?cos2x
2解 y(x)?[(?D?2)]
11cosx
(?D?2)2(D?2)212cos2x ?(D?2)22(D?4) g1(1?i)x(xe?xe(1?i)x) 2(1?i)x) ?Re(xe (Rez表示复数z的实部)故可写成 1e(1?i)xgx) y(x)?Re(2D?111e(1?i)xgx?e(1?i)xgx 而2D?1(D?1?i)2?11?e(1?i)x2gx D?2(1?i)D?(2i?1)红色部分是怎么来的，可以cosx? egxgx豆丁网上传的《陈文登考研面的微分算子法的推导》 5
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