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常微分方程在数学建模教学中的运用
作者：白莉红
来源：《教育界·下旬》2015年第08期
【摘 要】数学建模是用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设等过程，将实际问题用数学方式描述，建立起数学模型并运用数学方法求解。本文介绍了由常微分方程组描述的生物种群间的相互作用模型——弱肉强食模型。 【关键词】常微分方程 ; ;数学建模 ; ;弱肉强食模型
第一次世界大战期间，奥地利与意大利的敌对状态造成了亚德里亚海捕鱼业的破坏与停滞，战后发现，亚得里亚海中以小鱼为食物的大鱼密度高于正常水平。为什么停止捕捞有利于大鱼密度的上升，这一问题引起了意大利数学家沃儿泰拉的兴趣，他的研究产生了如下模型。 以x（t）表示t时刻小鱼密度，即单位体积的小鱼数，y（t）代表相应的大鱼密度。先考虑小鱼密度的变化规律，如果不存在大鱼，类似于马尔萨斯人口模型，假设小鱼密度的净增长率为一个常数a>0，当有大鱼存在时，由于大鱼捕食小鱼，使得小鱼的净增长率下降，这一下降的速率正比于y（t），其比例系数设为常数b，由此小鱼密度满足方程： x（t）=a-by （1）
类似的考虑大鱼密度方程： y（t）=-c+dx （2）
式中的c，d系数前的符号与小鱼方程系数a，b的符号相反，这是因为当不存在小鱼时，大鱼由于没有食物而死亡，因而数量下降。下面对由方程与组成的常微分方程进行分析。 容易看出，如上方程组有三组特定的解，即： （1）x（t）=y（t）=0
（2）x（t）=0，y（t）=y（0）e-ct（y（0）>0） （3）y（t）=0，x（t）=y（0）eat（x（0）>0）
在Oxy平面上，对应不同的初值x（0）和y（0），这三组解的轨道构成区域
R2+={（x，y）∈R2：x≥0，y≥0}的边界，将上述区域的内部记为intR2+={（x，y）∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程组解的存在唯一定理，不同的积分轨道不能相交，所以初值点在
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