微专题02 椭圆-2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦

解析几何微专题02 椭圆

——2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦

【考情分析】椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线和椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点，离心率问题是每年高考考查的重点，多在选择题和填空题中出现，主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力，分值为5分，属于中档题目； 在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象，考察面较广，往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合，在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合思想和转化与化归思想的应用。

考点一 椭圆定义及其标准方程 【必备知识】

1、椭圆的定义

(1) 定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹. (2) 焦点:两个定点F1,F2. (3) 焦距:两焦点间的距离F1F2.

(4) 几何表示:MF1?MF2?2a(常数)且2a?F1F2. 注：椭圆定义要注意三个关键词

（1）平面内:椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. （2）和:定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.

（3）两点间的距离:常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.

（4）当MF1?MF2?2a?F1F2时,P的轨迹不存在；当MF1?MF2?2a?F1F2时,P的轨迹为以F1,F2

为端点的线段. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上的标准方程：

x2a2?y2b2?1(a?b?0)，焦点坐标(-c,0),(c,0)

焦点在y轴上的标准方程：

y2a2?x2b2?1(a?b?0)，焦点坐标(0,-c),(0,c)

其中：a,b,c的关系：a2?b2?c2

【典型例题】

【例1】设椭圆

x2a2?y2b2?1(a?b?0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为

5,点A的坐3标为(b,0),且|FB|·|AB|=62，求椭圆的方程. 【解析】设椭圆的焦距为2c,由已知得

c2a25，又由a2?b2?c2,可得2a?3b. 9?由已知可得,|FB|=a,|AB|=2b,

由|FB|·|AB|=62,可得ab=6,从而a=3,b=2.

x2y2所以,椭圆的方程为??1.

94【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.

1、定义法求椭圆的标准方程的步骤

(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离.

(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.

2、待定系数法求椭圆标准方程的步骤

基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.

(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能. (2)设方程.

①依据上述判断设方程为

x2a2?y2b2?1(a?b?0)或

y2a2?x2b2?1(a?b?0);

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2?ny2?1(m?0,n?0且m?n). (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求.

x24y2【类比训练】设P是椭圆??1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若?F1PF2?600,求?F1PF2的面积.

2575【解析】由椭圆方程知,a2?25,b2?754，所以c2?255,所以c?42,2c=5.

在?F1PF2中,F1F22?PF12?PF22?2PF1?PF2cos600，即25?PF12?PF22?PF1?PF2.① 由椭圆的定义得10?PF1?PF2,即100?PF12?PF22?2PF1?PF2.② ②-①,得3PF1?PF2?75,所以PF1?PF2?25, 所以S?F1PF2?1253. PF1?PF2?sin600?24【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换思想，核心素养是数学运算.

椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的?PF1F2称作焦点三角形，设?F1PF2??，则 ①PF1?PF2?2a ?PF1F2的周长=2a?2c 面积公式 S?PF1F2?②余弦定理 4c2?PF12?PF22?2PF1?PF2?cos?

1PF1PF2sin?2

③当P为短轴端点时，?最大

考点二 椭圆的几何性质 【必备知识】

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 x2y2?2?1?a?b?0? 2ab y2x2?2?1?a?b?0? 2ab标准方程 第一定义 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|?|MF2|?2a到两定点F1、（2a?|F1F2|） 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFd?e(0?e?1) 第二定义 范围 ?a?x?a且?b?y?b ?1??a,0?、?2?a,0? ?b?x?b且?a?y?a ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? 顶点 ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 对称性 焦点 焦距 长轴的长?2a 短轴的长?2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c(c2?a2?b2)