离心率 cc2a2?b2b2e????1?222aaaa(0?e?1) 通径 （焦点）弦长公式 2b2过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径，AB? aA(x1,y1),B(x2,y2)，AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2
【例2】已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于( ) A.
B.
C.
D.
【解析】因为点P是以所以 =2,
F1,F2为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a, 所以x= ,所以|PF2|= ,则|PF1|= , 由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2, 所以解得c= a,所以e= = ,选A. 【答案】A
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、消元、整体代换思想，核心素养是数学运算.
求椭圆的离心率（范围）的方法
1、直接法:若已知a,c可直接利用e?求解.若已知a,b或b,c可借助于a2?b2?c2求出c或a,再代入公式e?求解.
caca
2、方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2?b2?c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
【类比训练】已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为( ) A.
B. C.
D.
【解析】设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为
- , A′(m,n),则 - ,
得 - ,所以A′(-3,2).
,
连接A′B,则 PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B =25,
所以2a?25.所以椭圆C的离心率的最大值为 = = .故选A.
【答案】A
考点三 直线与椭圆的位置关系 【必备知识】
1、直线与椭圆位置关系的判断 方法：代数法
?y?kx?b思路：联立?消去y（或x）得到一个一元二次方程，则： ?x2y2??1?2b2?a??b2?4ac 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交，有两个公共点 ??0 ??0 ??0 直线与椭圆相切，有一个公共点 直线与椭圆相离，没有公共点 2、直线被椭圆截得的弦长公式：设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2
AB?(1?k2)(x1?x2)2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2
?(1?1k2)(y1?y2)2?1?1k2?(y1?y2)2?4y1y2（k为直线斜率，k?0）
提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
【例3】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为( ,0),且经过点(-1,- ),点M是y轴上的一点,过
点M的直线l与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的方程;
(2)若 =2 ,且直线l与圆O:x2+y2= 相切于点N,求|MN|的长.
- ,
(a2-4)(4a2-3)=0, 即
【答案】(1)由题意知, (- )
-
,
因为a2=3+b2>3,解得a2=4,b2=1, 故椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l与圆O:x2+y2= 相切, 所以
= ,即m2= (k2+1), ①
由
, ,
得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
( - )
由韦达定理,得x1+x2=-
,x1x2=,
由 =2 ,有x1=-2x2,解得x1=-所以- ( - )
,x2=
,
( )
=
,化简得-
=m2-1, ②
把②代入①可得48k4+16k2-7=0, 解得k2= ,m2= ,
在Rt△OMN中,可得|MN|= - = .故|MN|的长为 .
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.
直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.
(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式. 【例4】直线x+4y+m=0A.-2
交椭圆 +y2=1
于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于( )
D.2
B.-1 C.1
【解析】由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则
+ =1,+ =1
两式相减, - =- ·,
-
结合直线的斜率为- ,AB中点横坐标为1, 所以AB中点纵坐标为 ,
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