2019-2022年电大高等数学基础国开期末考试试题（含答案） - 图文 

2019-2022年电大高等数学基础期末考试试题及答案

一、单项选择题

1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A.

f(x)?(x)2，g(x)?x B. f(x)?x2，g(x)?x

C.f(x)?lnx3，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?x2?1x?1

1-⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C ）对称．

A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y?x

设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（D ）对称．

A. y?x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 y?e?x?ex.函数2的图形关于（ A ）对称．

(A) 坐标原点 (B)

x轴 (C) y轴 (D) y?x

1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． xA.

y?ln(1?x2) B. y?xcosx C.

?a?a?xy2 D.

y?ln(1?x)

下列函数中为奇函数是（A ）． A.

y?x3?x B. y?ex?e?x C. y?ln(x?1) D. y?xsinx

下列函数中为偶函数的是（ D ）．

A

y?(1?x)sinx B y?x2x C y?xcosx D y?ln(1?x2)

2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）．

x2 A. limx??x2?2?1 B. limx?0ln(1?x)?0 C. limsinxx??x?0 D. lim1x??xsinx?0 2-2当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．

A. sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x?2)

当x?0时，变量（ C ）是无穷小量．A 1x B sinxxxx C e?1 D x2

.当x?0时，变量（D ）是无穷小量．A 1sinxx B x C 2x D ln(x?1)

下列变量中，是无穷小量的为（ B ） Asin1x?x?0? B

ln?1x?1??x?0? C

ex?x???

D.x?2x2?4?x?2?

3-1设

f(x)在点x=1处可导，则limf(1?2h)?f(1)h?（ D ）．

h?0A. f?(1) B. ?f?(1) C. 2f?(1) D. ?2f?(1)

设

f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则limh?0h?（ D ）． A f?(x0) B 2f?(x0) C ?f?(x0) D ?2f?(x0)

设

f(x)在xf(x0?2h)?f(x0)0可导，则lim02h?（ D ）．

h?A.

?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0)

设

f(x)?ex，则??x)?f(1)?x?（ A ）

A ?limf(1x?0e B. 2e C. 112e D. 4e3-2. 下列等式不成立的是（D ）．

A.exdx?dex B ?sinxdx?d(cosx) C.

12xdx?dx D.lnxdx?d(1x)

下列等式中正确的是（B ）．A.d(11?x2)?arctanxdx B. d(1dxx)??x2 C.d(2xln2)?2xdx D.d(tanx)?cotxdx

4-1函数f(x)?x2?4x?1的单调增加区间是（ D ）．

A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??)

函数

y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 .函数

y?x2?x?6在区间（－5，5）内满足（ A ）

A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升

. 函数

y?x2?2x?6在区间(2,5)内满足（D ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上

升 5-1若

f(x)的一个原函数是

1x，则f?(x)?（D ）． A. lnx B.

?1x2 C.

1x D.

2

x3

1

.若F(x)是 AC5-2若

f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是（ A ）。

?xaf(x)dx?F(x)?F(a) B

?babF(x)dx?f(b)?f(a)

f?(x)?F(x) D?f?(x)dx?F(b)?F(a)

af(x)?cosx，则?f?(x)dx?（ B ）．

A. A.

sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c

下列等式成立的是（D ）．

?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)

d C. df(x)dx?f(x) D. f(x)dx?f(x) ??dxd123323xf(x)f(x)xf(x)dx?f(x) D. （ B ）． A. B. C.

dx?31f(x3) 3d11222xf(x)xf(x)dx xf(x)dx?f(x)dxf(x)（ D ） A B C D ?dx221f(x)dx?（ B ）． ⒌-3若?f(x)dx?F(x)?c，则?x1F(x)?c A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D.

x??1?x?x?xdx 补充： ?ef(e)dx? ?F(e)?c, 无穷积分收敛的是 ?21xx?x 函数f(x)?10?10的图形关于 y 轴 对称。

二、填空题 ⒈函数f(x)?函数

1?x?2若函数f(x)??(1?x),x?0，在x?0处连续，则k? e

?x?0?x?k,?sin2x?x?0.函数f(x)??x在x?0处连续，则k? 2 ?x?0?k?x?1,x?0函数y??的间断点是 x=0 ．

sinx,x?0?x2?2x?3函数y?的间断点是 x=3 。

x?31函数y?的间断点是 x=0 x1?e3-⒈曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 ．

．

曲线曲线.曲线

f(x)?x?2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 ．

f(x)?ex?1在（0，2）处的切线斜率是 1 ．

f(x)?x3?1在(1,2)处的切线斜率是 3 ．

π

3-2 曲线f(x)?sinx在(,1)处的切线方程是 y = 1 ．切线斜率是 0 2

曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1

4.函数y?ln(1?x)的单调减少区间是 （－∞，0 ） ．

2f(x)?e的单调增加区间是 （0，+∞） ．

2.函数y?(x?1)?1的单调减少区间是 （－∞，－1 ） ．

2.函数f(x)?x?1的单调增加区间是 （0，+∞） ．

函数 函数5-1dx2x2?9?ln(1?x)的定义域是 （3，+∞） ．

x?3y?e?x2?x2的单调减少区间是 （0，+∞） ．

x?4?x的定义域是 （2，3） ∪ （3，4 ]

ln(x?2)1函数f(x)?ln(x?5)?的定义域是 （－5，2）

2?x?x2?1,x?0若函数f(x)??，则f(0)? 1 ．

x2,x?0?y??edx?

e?xdx

2 ． .

dsinx2dx? sinx2． ?dx?(tanx)?dx? tan x +C ．

若?f(x)dx?sin3x?c，则f?(x)? －9 sin 3x ．

5-2

1(sinx?)dx? 3 ． ??3235x3dedx?ln(x?1)dx? 0 ． ??1x2?1?1dx10

下列积分计算正确的是（ B ）．

2

A

?1(ex?e?x)dx?0 B

?1(ex?e?x)dx?0 C

?1x2dx?0 D

x2?3x?2x2?3x?2(x?2)(x?1)x?113-3 lim 解 lim?lim?lim? ?1?1?1?1?1|x|dx?0

三、计算题

（一）、计算极限（1小题，11分）

（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 （2）利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限limx?xf(x)?f(x0)

0类型1： 利用重要极限

limsinxx?0x?1 ， limsinkxx?0x?k， limtankxx?0x?k 计算

sin1-1求limsin6x6x． 解： x?0sin5xlimsin6xx6 x?0sin5x?limx?0?sin5x?5x1-2 求 limtanxtanxx?03x 解： limx?03x?13limtanxx?0x?113?1?3 1-3 求limtan3xtan3xtan3xx?0x 解：limx?0x=limx?03x.3?1?3?3 类型2： 因式分解并利用重要极限 limsin(x?a)x?a(x?a)?1， limx?ax?asin(x?a)?1 化简计算。22-1

求

limx?1x??1sin(x?1)． 解：limx2?1(x?1)x??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1).(x?1)?1?(?1?1)??2 2-2limsin?x?1?sin(x?x?1x2?1 解： lim1)x?1x2?1?limsin(x?1)x?1(x?1).1(x?1)?1?11?1?122-3limx2?4x?3x2?4x?3(x?3)(x?1)x?3sin(x?3) 解： limx?3sin(x?3)?limx?3sin(x?3)?limx?3(x?1)?2 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限

x2?6x?823-1

limx?4x2?5x?4 解： limx?6x?8x?4x2?5x?4=

lim(x?4)(x?2)x?4(x?4)(x?1)?limx?2x?4x?1?23 3-2 limx2?x?6x??3x?x?12 limx2?x?6?x?3??x?2?2x??3x2?x?12?limx??3?x?3??x?4??limx?2x??3x?4?57

x?2x2?4x?2x2?4x?2(x?2)(x?2)x?2x?241x2其他： lim1?x2?1sinxsin?0sinx?lim2x?0sinx?0， xlimx?0x?1?1?limx?01?2 2xlimx2?6x?52x2?6xx??x?4x?5?limx22x222x??x2?1， limx??3x2?4x?5?limx??3x2?3

tan8x（0807考题）计算limtan8x． 解： tan8x4xxx?0sin4xlim=x?0sinlimx?0sin4x.?84?2 x（0801考题. ）计算limsinxsinxx． 解 x?02limx?02x?12limsinxx?0x?12 （0707考题.）limx2?2x?3(x?1).(x?3)x??1sin(x?1)=limx??1sin(x?1)?1?(?1?3)??4 （二） 求函数的导数和微分（1小题，11分）

（1）利用导数的四则运算法则

(u?v)??u??v? (uv)??u?v?uv?

（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式

(lnx)??1x (xa)??axa?1 (ex)??ex (eu)??eu.u? (sinx)??cosxsinx(ex2)??ex2.(x2)??2xex2(cosx)??? (esinx)??esinx.(sinx)??esinx(tanx)??sec2xcosx )???cscx(ecosx)??ecosx.(cosx)???ecosx(cotx2sinx(sinu)??cosu.u?(cosu)???sinu.u?(sinx2)??cosx2.(x2)??2xcosx2 (cosx2)???sinx2(x2)???2xsinx2 (sinex)??cosex.(ex)??excosex(cose)???sinex.(ex)???exsinex 类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1

y?(xx?3)ex ?1313 解：y?＝?3?x2?3?x?3?x?3x??x?3?x??e???x2?3????e??2x2e??x2?3?e??x2?x2?3?e

???2?3

1-2 解

22222y?cotx?x2lnx

：

y??(cotx)??(xlnx)???cscx?(x)?lnx?x(lnx)???cscx?2xlnx?x

x1-3 设y?etanx?lnx，求y?．

解

：

1sinx0707.计算

?x2dx． 解：

1xsin?1xdx??sin1d(1)?cos1?c

?xxxx21x11y??(extanx)??(lnx)??(ex)?tanx?ex(tanx)??211?extanx?exsec2x? xx2类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 ee10701计算?2dx． 解： ?2dx???exd()??ex?c

xxx1dx?2??dx 凑微分类型2：??x.计算

12-1 y?sinx?lnx，求y? 解：y??(sinx)??(lnx)??2xcosx?

xx22-2 y?cose?sinx，求

2?cosx解：

x2xx22xx20807.计算

??xsinxdx． 解：

?cosxy??(cose)??(sinx)???sine.(e)??cosx.(x)???esine?2xcosx55?5x5?5x)??ln4x?5e?5x 2-3 y?lnx?e，求， 解：y??(lnx)??.(ex类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 22222xexdx． 解：?xsinxxxdx?2?cosxdx?2sinx?c

dx?2?sinxdx??2cosx?c

x

0801.计算

xdx 解：?exdx?2?exdx?2e?c xxxx求y? 。 解：y??(e)?cosx?e(cosx)??2xecosx?esinx y?excosx，cosxx其他：y?2?，求y?。

x 解： ：

cosx(cosx)?.x?cosx.(x)?xsinx?cosxx)??2xln2??2ln2?xx2x2y?esinx?sinx20807.设，求 解y?y??(esinx)??(sinx2)??esinxcosx?2xcosx2 y??(2x)??(0801.设

x2x2x2x22x211?dx??dlnx?， ?x??xdx???d(a?lnx) 11dlnx1dx 解：?dx????du?ln|lnx|?c 计算?xlnxxlnxlnxue2?lnx.计算 ?1xdxee2?lnxe152dx?(2?lnx)d(2?lnx) ?(2?lnx)??1x?1221凑微分类型3：5 类a解：

定积分计算题，分部积分法 型1：y?xe，求y? 解：y??(x)?e?x(e)??e?2xe

sinx?x2，求 解：y??esinx.(sinx)??(x2)??cosxesinx?2x 0707.设y?e1xxxxx0701.设y?lnx?cose，求 解：y??(lnx)??sine.(e)???esine

x（三）积分计算：（2小题，共22分） 11dx???d() 2?xx11coscosxdx 解：xdx??cos1d(1)??sin1?c

计算??x2?xxxx2凑微分类型1：??11a?11xa?11a?1aa?1xlnxdx?lnxdx?xlnx?xdx?lnx?x?c ???2a?1a?1a?1a?1(a?1)e112122计算 解： a?1， ?xlnxdx??lnxdx?xlnx?x?c xlnxdx?1224e1ex2x2e1?e22?1xlnxdx?2?1lnxdx?(2lnx?4)1?4 ee?1lnxdx?(xlnx?x)1?(e?e)?(0?1)?1

4

lnxlnx111 解： ， dxdx??lnxd()??lnx??c a??2?1x2?x2?xxxelnxe1lnx1e2 dx??lnxd()?(??)?1??1x2?1xxx1eelnx1lnxdx 解：a??，?dx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c 计算?12xxelnx?dx计算

e??xdsinx?(xsinx?cosx)2?2?1

01111xsin2xdx??xcos2x?cos2xdx??xcos2x?sin2x?c ??2224????1211?2xsin2xdx???xdcos2x?(?xcos2x?sin2x)2??0??xcosxdx?20?20???02024=

044

1x2?e1lnxdx?(2xlnx?4x)e1??2e?4 0807

?exlnxdx?2?e333lnxd x2?(2x24e231313lnx?9x2)1?9e2?49

0707

?ex2lnxdx?1e1313e23113?1lnxdx3?(3xlnx?9x)1?9e?9 类型2 ?xeaxdx?1a?xd(eax)?1ax1axaxe?a2e?c ?10xe2xdx?112x12x12x11212?0xde?(2xe?4e)0?4e?4 ?10xe?xdx???10xde?x?(?xe?x?e?x)10??2e?1?1 ?1?2x11?21?2x1?2x13?210xedx??2?0xdex?(?2xe?4e)0??4e?4 （0801考题） ?1x10xedx??0xdex?(xex?ex)10?1 类型3： ?xsinaxdx??1111axcosax?a?cosaxdx??axcosax?a2sinax?c ?xcosaxdx?1axsinax?1a?sinaxdx?1axsinax?1a2cosax?c ????20xsinxdx???20xdcosx?(?xcosx?sinx)2?1?0?1 0

??20xcos2xdx?1?2xsin2x|02?1??22?0sin2xdx?14cos2x|02??12 四、应用题（1题，16分）

类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足

h2?r2?l2

圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h

求导并令 V??π(l2?3h2)?0

l 得h?33l，并由此解出r?63l． 即当底半径r?63l，高h?33l时，圆柱体的体积最大．

类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。

2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？

解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V??.r2.h,h?V?.r2

表面积为S?2πr2?2πrh?2πr2?2Vr S??4πr?2VV4Vr2， 由S??0得r?32π，此时h?2r?3π。

由实际问题可知，当底半径r?3V2π与高h?2r 时可使用料最省。

一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为

r，高为

h，则无盖圆柱形容器表面积为

5

2VS?πr?2πrh?πr?rVr?3,h?r，

π22，令

2VS??2πr?2?0r， 得

解： 曲线

y?x2上的点到点

A（0，2）的距离公式为

d?x2?(y?2)2?y?(y?2)2

d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， 222 d?y?(y?2) (d)??1?2(y?2)?2y?3

与高h由实际问题可知，当底半径r?3Vπ?r 时可使用料最省。

2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707考题）

63，并由此解出x??，

2263632,）和点（?,）到点A（0，2）的距离最短 即曲线y?x上的点（

2222令

(d2)??0得y?解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为

y，由已知x2h?V?32，h?Vx2，

表面积 y?x2?4xh?x2?4Vx，

令

y??2x?4Vx2?0，得x3?2V?64， 此时x?4,h?Vx2=2 由实际问题可知，x?4是函数的极小值点，所以当x?4，h?2时用料最省。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。

类型3 求求曲线y2?kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． 曲

线

y2?kx上

的

点

到

点

A(a,0)的距离平方为

L?(x?a)2?y2?(x?a)2?kx

L??2(x?a)?k?0， 2x?2a?k

3-1在抛物线

y2?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．

解：设所求点P（x，y），则满足

y2?4x，点P 到点A 的距离之平方为

L?(x?3)2?y2?(x?3)2?4x

令L??2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点， 当x?1时，y?2或y??2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－2）

3-2求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：曲线

y2?2x上的点到点

A（2，0） 的距离之平方为

L?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令L??2(x?2)?2?0，得x?1， 由此y2?2x?2， y??2 即曲线

y2?2x上的点（1，2）和（1，?2）到点A（2，0）的距离最短。

08074 求曲线y?x2上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。

6