大象天成大联考·全国名校联盟2018-2019学年高三第二次联考理科数学

2018—2019学年高三第二次联考

数学（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{y|y＝x2+x}，则eRA?

1?1??1??1???A．??,??? B．??,??? C．???,?? D．???,??

4?4??4??4???1?2i，则其共轭复数z＝ iA．1-2i B．1+2i C．2-i D．2+i 2．已知复数z??x?y?1?0?3．已知实数x、y满足?y?0，则x2+y2-2y的最大值为

?2x?3y?2?0?A．1 B．2 C．4 D．8

4．函数f(x)＝xe|ln x|的大致图象为

5．有一个边长为2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为

ππ12 B． C． D． 64236．某几何体的三视图如右图所示，它的正视图和侧视图均为边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为 A．

A．8 B．12 C．D．83 3163 37．将函数y1＝(sin x+cos x)2的图象向右平移a个单位后得到函数y2＝2cos2x的图象，则正数a的最小值为

ππ3π5π B． C． D． 42448．十张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意拿出4张卡片，它们的和为偶数的取法共有

A．90种 B．100种 C．110种 D．120种

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为面ABCD和面ADD1A1的中心，则直线PB1和QC1所成角为 A．

ππππ B． C． D． 234610．为了测量如右图所示的河宽（河岸可视为平行线），首先测得河岸一边B、C两点的距离为l，然后在河对岸上确定一点A，并测得A、C两点相对于B的视角为α，A、B两点相对于C的视角为β，则河宽为 A．

A．C．

lsin?sin?lsin?sin? B．

cos(???)sin??sin?ltan?tan?ltan?tan? D．

tan??tan?tan(???)

x2y211．设双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，它在第一象限（不含坐标轴）的渐

ab近线和图象上各存在一点P、Q使得Q为PF中点，则其离心率的取值范围为 A．(1，2) B．(2，+∞) C．(1,2) D．(2,??)

12．若函数f(x)的图象上存在两点A、B使得△OAB为等腰直角三角形且∠AOB为直角（O为坐标原点），则称f(x)为“Rt函数”，下列函数中是“Rt函数”的个数为 ①f(x)＝2x+1；②f(x)?x2?1-；③f(x)＝x+ex． 2A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：

π?2?13．已知tan?????，则tan α＝________．

4?3?uuuruuuruuur14．点A、B、C均位于单位圆上，且|AB|?2，则AB?AC的最大值为________． 15．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线的切线和x轴的垂线分别交x轴于点Q、H，若|PF|·|PH|＝4，则|PQ|＝________．

16．二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉．比如，由二项式定理

122nnn*得C0n?Cnx?Cnx?…?Cnx?(1?x)(n?N,x?R)，两边同时对x求导，

232nn?1?n(1?x)n?1，在该式中令x＝1， 得C1n?2Cnx?3Cnx?…?nCnx23nn?1得C1． n?2Cn?3Cn?…?nCn?n?211121n类比上述计算方法，试推导C0Cn?Cn?…?Cn?________． n?23n?1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an+n＝4+Sn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{Sn}的前n项和Tn．

18．有一矩形纸片ABCD如图所示，BC＝3，AB?3，沿AC将△ABC翻折，使得点B在平面ACD中的射影H恰好落在直线AD上．

（1）求证：平面ABC⊥平面BCD； （2）求二面角A-BC-H的余弦值． 19．某校共有高三学生2000人，统计他们的期末数学考试成绩得到如下的频率分布直方图：

（1）用上图中每个分数区间的中点代替该区间内的所有数据，据此估计这2000名高中生的平均成绩μ和方差σ2；

（2）记这2000名高中生的成绩为变量X，观察频率分布直方图的轮廓，可认为X服从正态分布，即X～N(μ，σ)（其中μ和σ为第一问所求）；在上述条件下，称成绩高于122分的学生为优等生，高于143分的学生为尖子生，该校的宣传小组从所有优等生中随机采访2名学生，了解他们的学习习惯，记这2名学生中尖子生的个数为变量Y，求Y的分布列和数学期望．

参考数据：110?10.5，若X～N(μ，σ)，则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954， P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997．

x2y220．点P为椭圆2?2?1(a?b?0)上的动点，过点P作椭圆的切线l，再过椭圆左焦点F

ab作直线FQ⊥l交l于点Q；当点P的坐标为(0,3)时，点Q的横坐标为-1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设线段FP的中点为R，求证：直线QR恒过坐标原点．

alnx?(a?1)2x21．已知f(x)?x?(x?0)． 2a?1（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当a＞0时，记f(x)在(0，1]上的最大值为M，求M的取值范围．

（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．选修4-4：坐标系与参数方程

2?5x?1?t,??5设直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为?（t为参数），点P的坐标为(1，

?y?25t?5?0)；以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ．

（1）求直线l和曲线C在直角坐标系中的普通方程；

（2）若直线l与曲线C交于两点M，N，求|PM|·|PN|的值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x+1|+|x-1|．

（1）画出f(x)的图象，判断f(x)的奇偶性并证明；

?3x?（2）解不等式：f(2x?1)?f??．

?2?大象天成大联考·全国名校联盟2018-2019学年高三第二次联考

理科数学A卷参考答案与解析

1．C 2．D 3．A 4．A 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B

1(2n?1?1) n?117．解析：（1）令n＝1得2a1+1＝4+a1?a1＝3 2an+n＝4+Sn……①，2an+1+n+1＝4+Sn+1……②

a?1②-①得2an-1＝an+1即n?1?2，

an?113．5 14．1?2 15．2 16．

因此{an-1}是以a1-1＝2为首项，2为公比的等比数列， an-1＝2n?an＝2n+1

1?2n（2）Sn?2??n?2n?1?n?2，

1?21?2n(1?n)nn2?3nn?2Tn?4???2n?2??4

1?222BHIAD?H??BH?面ACD???18．解析：（1）??BH?CD??CD?面ABD??AB?CD

CD?面ACD??AB?面ABD?AD?CD??AB?CD????AB?BC??AB?面BCD??面ABC?面BCD

?BCICD?C??AB?面ABC?