.
∴AB?AE2?BE2?10
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将?PAD绕点A顺时针旋转90?得
D
到?P?AB，，可得?PAD??P?AB，PD?P?B，PA?P?A
∴?PAP??90?，?APP??45?，?P?PB?90? ∴PP??2，PA?2
∴PD?P?B?PP?2?PB2?22?42?25；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交
P′ A P
E
B
C
PB于G．
在Rt?AEG中，可得AG?AEAE1012，EG?，PG?PE?EG? ??cos?EAGcos?ABE33D 31010，FG? 515A
222G ?10???1010???10???25 P F E ????5??153?????在Rt?PFG中，可得PF?PGcos?FPG?PGcos?ABE?在Rt?PDF中，可得 PD?PF2??AD?AG?FG?C
B
（2）如图所示，将?PAD绕点A顺时针旋转90?,得到?P?AB，PD的最大值，即为P?B的最大值
∵?PP?B中，P?B?PP??PB，PP??2PA?2，PB?4且P、D两点落在直线AB的两侧
∴当P?、P、B三点共线时，P?B取得最大值（如图）
P′ A
D C
D
C
A B
P′
P
B
P
.
.
此时P?B?PP??PB?6，即P?B的最大值为6 此时?APB?180???APP??135?
3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且
?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，
BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．
图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时
Q? ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
分析：（1）如果DM?DN，?DMN??DNM，因为BD?DC，那么
.
.
?DBC??DCB?30?，也就有?MBD??NCD?60??30??90?，直角三角形MBD、NCD中，因为BD?DC，DM?DN，根据HL定理，两三角形全等。那么BM?NC，
?BMD??DNC?60?，三角形NCD中，?NDC?30?，DN?2NC，在三角形DNM中，DM?DN，?MDN?60?，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN?DN?2NC?NC?BM，三角形AMN的周长Q?AM?AN?MN?
AM?AN?MB?NC?AB?AC?2AB，三角形ABC的周长L?3AB，因此Q:L?2:3．
（2）如果DM?DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使CE?BM，连接DE．（1）中我们已经得出，?MBD??NCD?90?，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB?CE，BD?DC，因此两三角形全等，那么DM?DE，三角形MDN和EDN中，有DM?DE，?BDM??CDE，?EDN??BDC??MDN?60?．
?EDN??MDN?60?，有一条公共边，因此两三角形全等，MN?NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE?CN?CE，因此MN?BM?CN．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。
（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作
?CDH??MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的?DCH??MB?90?，
我们做的角?BDM??CDH，BD?CD，因此两三角形全等（ASA）．那么BM?CH，
DM?DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD?DH，一条公共边ND，要想证
得两三角形全等就需要知道?MDN??HDN，因为?CDH??MDB，因此
?MDH??BDC?120?，因为?MDN?60?，那么?NDH?120??60?
?60?，因此?MDN??NDH，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM?NH?AN?AC?BM，三角形Q?AN?AM?MN?AN?AB?BM?
AMN的周长
.
.
1AN?AC?BM?2AN?2AB．因为AN?x，AB?L，因此三角形AMN的周长
3Q?2x?2L． 3解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：BM?NC?MN；此时（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图2，延长AC至E，使CE?BM，连接DE ∵BD?CD，且?BDC?120? ∴?DBC??DCB?30? 又?ABC是等边三角形 ∴?MBD??NCD?90? 在?MBD与?ECD中
A N B
D A
Q2?． L3M N C
图 1
?BM?CE???MBD??ECD ?BD?DC?B M D 图 2
C
N
E
∴?MBD??ECD（SAS） ∴DM?DE，?BDM??CDE
A
∴?EDN??BDC??MDN?60? 在?MDN与?EDN中 ?DM?DE???MDN??EDN ?DN?DN?H C
D 图 3
B M ∴?MDN??EDN（SAS） ∴MN?NE?NC?BM
故?AMN的周长Q?AM?AN?MN??AM?BM???AN?NC??AB?AC?2AB 而等边?ABC的周长L?3AB
.
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