§2.9 函数模型及其应用
考纲展示?
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
考点1 用函数图象刻画实际问题中两个变量的变化过程
[典题1] (1)[2017·浙江湖州模拟]物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B
C D
[答案] B
(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动．设点P运
- 1 -
动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝
f(x)的图象是( )
A B
C D
[答案] D
[解析] 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考点2 应用所给函数模型解决实际问题 [典题2] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． - 2 - (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． kt，0≤t≤1，?? [解] (1)由题图，设y＝??1?t－a??，t>1，???2? 当t＝1时，由y＝4，得k＝4， ?1?1－a由??＝4，得a＝3. ?2?4t，0≤t≤1，??所以y＝??1?t－3??，t>1.???2? ??0≤t≤1，(2)由y≥0.25，得??4t≥0.25? t>1，??或??1?t－3 ??≥0.25，???2? 1 解得≤t≤5. 16 179 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)． 1616[点石成金] 求解已给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． [提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围. 里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅， A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000.此时标准 - 3 - 地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 答案：6'10 000 解析：根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝10，同理5级地震的最大振幅A5＝10，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 考点3 构建函数模型解决实际问题 2 6 1.几类函数模型 函数模型 一次函 数模型 反比例函 数模型 二次函 数模型 指数函 数模型 对数函 数模型 幂函数 模型 2．三种函数模型的性质 函数 性质 在(0，＋∞)上 的增减性 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 单调______ 单调______ 单调递增 - 4 -
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