在数轴上表示，如图所示．
82
由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.
123
与长度(角度)有关的几何概型
1
1．设x∈[0，π]，则sin x<的概率为( )
21111A. B. C. D. 6432答案 C
π
×26π5π11
0，?∪?，π?，∴P＝解析 由sin x<且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈?＝. ?6??6?2π－032.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
1
答案 6
解析 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，
601
则OA落在∠yOT内的概率为＝.
3606
3．(2017·江苏)记函数f (x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________． 5答案 9
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A， 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3， ∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，
5
∴P(A)＝.
9
4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 1答案 2
解析 如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，10＋101
才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝. 402
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
与面积有关的几何概型
命题点1 与平面图形有关的几何概型
例1 (2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所
围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
答案 A
解析 ∵S1
△ABC＝2
AB·AC，
以AB为直径的半圆的面积为1AB2π·??2??2＝π8AB2
，
以AC为直径的半圆的面积为1AC2π·??2π?2?＝8AC2
，
以BC为直径的半圆的面积为12π·?BC?2??2＝π8BC2
，
∴S＝12AB·AC，Sπ1
ⅠⅢ＝8BC2－2
AB·AC，
SπⅡ＝??8AB2＋π8AC2??－?π?8BC2－112AB·AC??＝2AB·AC. ∴S＝SSⅠSⅡ
ⅠⅡ.由几何概型概率公式得p1＝S总，p2＝S总. ∴p1＝p2. 故选A.
命题点2 与简单的线性规划有关的几何概型
例2 在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于6
5
的概率是(
)
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