12161718A. B. C. D. 25252525答案 C
?0 ?0 0 满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即? 6 ?x＋y 如图所示，阴影部分的面积是1－×?＝， 2?5?25617 所以这两个数之和小于的概率是. 525 确定的平面区域， 命题点3 与定积分有关的几何概型 例3 (2020·四川双流中学检测)如图，若在矩形OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为( ) 2222 A．1－ B. C.2 D．1－2 ππππ答案 A 解析 S矩形＝π×1＝π， πsin xdx＝－cos x|π＝－(cos π－cos 0)＝2， 又?00 ∴S阴影＝π－2， π－22 ∴豆子落在图中阴影部分的概率为＝1－. ππ 思维升华 (1)与平面图形有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率． (2)与简单的线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解． (3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率． 跟踪训练1 (1)(2020·广西六市联合调研)如图所示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2 cm的圆形铜片，中间有边长为1 cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水(水滴的大小忽略不计)，则水滴正好落入孔中的概率是( ) 2111A. B. C. D. ππ2π4π答案 D 解析 由题意知S铜片＝π×22＝4π， S方孔＝12＝1，故所求概率为 1 . 4π (2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 3答案 4 解析 设通电x秒后第一串彩灯闪亮，通电y秒后第二串彩灯闪亮． 依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16. 又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知， 11 符合要求的S′＝16－×2×2－×2×2＝12， 22S′123 ∴由几何概型的概率公式得P＝＝＝. S164 (3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________． 答案 2 e2 解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， xx1 故阴影部分面积为S＝2?10(e－e)dx＝2(ex－e)|0＝2[e－e－(0－1)]＝2. 又该正方形的面积为e2， 2 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2. e 与体积有关的几何概型 例4 (1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为( ) ππππA. B. C. D. 241286答案 A 14π解析 以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V＝×π×13＝，正方体的体积为8， 433π 3π ∴所求概率P＝＝. 824 (2)(2020·贵州省贵阳一中适应性考试)在正三棱锥A－BCD中，△BCD的边长为2，点E，F，G分别是棱AD，BD，CD的中点，且EF＝FG，随机在该三棱锥中任取一点P，则点P落在其内切球中的概率是________． 答案 3π 18 解析 ∵点E，F，G分别是棱AD，BD，CD的中点， 11 ∴EF＝AB，FG＝BC， 22又∵EF＝FG，∴AB＝BC＝2， ∴正三棱锥A－BCD为正四面体，
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