2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第十二章 12.2几何概型

112622其体积V＝××2×2×sin 60°×＝，

32331

表面积S＝4××2×2×sin 60°＝43，

23V226

内切球的半径r＝＝＝，

S43646

内切球的体积V球＝πr3＝π，

327V球3π

∴所求概率P＝＝. V18

思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．

跟踪训练2 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) 63323A. B.π C. D. π2π3π答案 D

解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝

3433

，球的体积V2＝π×??3＝π， 23?2?2

V123则此点落在正方体内部的概率P＝＝.

V23π

1．在区间(0,100)内任取一数x，则lg x>1的概率为( ) A．0.1 B．0.5 C．0.8 D．0.9 答案 D

解析 由lg x>1，得x>10， 100－10

所以所求概率为P＝＝0.9.

100

2．在区间[0，π]上随机取一个数x，使cos x的值介于－1235A. B. C. D. 3388答案 B

335ππ2π

与之间的区间长度为－＝. 22663

2π32

由几何概型概率计算公式，得P＝＝. π－03解析 cos x的值介于－

3．(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安联考)中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”．用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成．如图，正方形ABCD是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖，已知4个直角三角形的两直角边分别为a＝30 cm，b＝40 cm.若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的，则该小物体落在中间小正方形中的概率是( )

33

与之间的概率为( ) 22

11624A. B. C. D. 25122525答案 A

解析 由题意可知S正方形ABCD＝2 500(cm2)，中间的小正方形边长为b－a＝10(cm)，S小正方形1001＝100(cm2)，故落在小正方形区域的概率为＝.

2 50025

4.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

1π1πA. B. C. D. 4824答案 B

解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4. 1π

由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，

22π

S黑2π

所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.

S正方形48

5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) 81－4π4π18

A. B. C. D. 81812727答案 C

解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜131蜂“安全飞行”的概率为P＝3＝. 327

6．某水池的容积是20立方米，向水池注水的水龙头A和水龙头B的水流速度都是1立方米/小时，它们在一昼夜内随机开0～24小时，则水池不溢出水的概率约为( ) A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45 答案 B

解析 设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，则0≤x≤24,0≤y≤24，若水池不溢出水，1

则x＋y≤20，记“水池不溢出水”为事件M，则M所表示的区域面积为×20×20＝200，

2200

整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式得P(M)＝≈0.35.

576

7．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，

正弦曲线f (x)＝sin x和余弦曲线g(x)＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )

1＋21＋211A. B. C. D. π2ππ2π答案 B

解析 根据题意，可得曲线y＝sin x与y＝cos x围成的阴影区域的面积为

πsinx?cosxdx??cosx?sinx|????π ?π44π＝1－?－

?

22?＝1＋2. －22?

又矩形ABCD的面积为2π，

1＋2

由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选B.

2π

8．(2020·四川省成都七中模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f (x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( ) 7311A. B. C. D. 8424答案 B

解析 ∵a，b使得函数f (x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点， ∴Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π.

所有事件是Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，