21.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：1.只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二 一元二次方程的一般形式
一般形式：ax + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2
2
知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2 降次——解一元二次方程
22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.
22
(2)直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
2
知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； (4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法
知识点一 公式法解一元二次方程
(1)一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=
2
2
?b?b2a2?4ac，
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
2
(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤：
2
①方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；
2
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b-4ac的值；
22
④若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。
知识点二 一元二次方程根的判别式
式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.
222
△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
2
一元二次方程 △=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式
2
△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根 22.2．3 因式分解法
2知识点一 因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤：
① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二 用合适的方法解一元一次方程
方法名称 理论依据 适用范围 22直接开平方法 平方根的意义 形如x=p或(mx+n)=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2
若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2= ?2
cb, x1x2=
aa21.3 实际问题与一元二次方程
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2)设：是指设元，也就是设出未知数。
(3)列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 (4)解：就是解方程，求出未知数的值。
(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 (6)答：写出答案。
知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. (2)增长率问题
2
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1?x)=b。 (3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。
22二次函数知识点归纳 1.表达式：①一般式：y?ax2?bx?c（a?0）； ②顶点式：y?a?x?h??k（a?0）
2③交点式：y=a(x–x1)(x–x2) （a≠0）
4ac?b2b2.顶点坐标：①（?，） ②（h，k）
4a2a4ac?b24ac?b2b3.顶点意义：①当x??时，a?0，y有最小值为；a?0，y有最大值为
4a4a2a②当x?h时，a?0，y有最小值为k；a?0，y有最大值为k
4.a的意义：a?0，图象开口向上；a?0，图象开口向下；
a1??a2两函数图象大小形状相同.（即a相等的抛物线为全等型抛物线）
5.对称轴：①x??x?x2b；②x?h；③x?1（其中x1、x2为抛物线上对称点的横坐标） 2a26.对称轴位置分析：①b?0，对称轴为y轴；
②ab?0，即a、b异号，对称轴在y轴的右侧；
③ab?0，即a、b同号，对称轴在y轴的左侧；（左同右异）
7.增减性：①a?0，x??大而减小； ②a?0，x??而增大
8. 抛物线y?ax?bx?c与y轴的交点为（0，c），c值为抛物线在y轴上的截距.
9.抛物线与x轴的交点：①??b?4ac?0时，抛物线与x轴有一个交点；②??b?4ac?0时，抛物线与
222bb（或x＞h）时，y随x的增大而增大；x??（或x＜h）时，y随x的增2a2abb（或x＞h）时，y随x的增大而减小；x??（或x＜h）时，y随x的增大2a2ax轴有两个交点；③??b2?4ac?0时，抛物线与x轴没有交点.
10.图象的平移：化成顶点式y?a?x?h??k，上加下减：k?m；左加右减：h?m 11．设抛物线与x轴交于A、B两点，则AB?2?2或AB?x1?x2?(x1?x2)?4x1x2 a12．抛物线上重要的点：抛物线与x轴、y轴的交点坐标，以及顶点坐标解题中经常会用到，所以同学们应能熟
练地由解析式求这些点的坐标.
13．二次函数与一元二次方程根的分布：
????b2?4ac?0?b?①若抛物线与x轴的两个交点在正半轴上，则?x1?x2???0；
a?c?xx??012?a?????b2?4ac?0?b?②若抛物线与x轴的两个交点在负半轴上，则?x1?x2???0；
a?c?xx??012?a????b2?4ac?0?③若抛物线与x轴的两个交点分别在正、负两半轴上，则? c?x1x2??0a?④若抛物线与x轴的两个交点只有一个点在m 14．抛物线的变换：
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