第二课时 最值与范围问题
考向一 圆锥曲线中的最值问题
【典例】 已知点(，)，(，)是抛物线＝上相异两点，且满足＋＝． ()若的中垂线经过点()，求直线的方程；
()若的中垂线交轴于点，求△的面积的最大值及此时直线的方程． [思路分析]
总体 设计 看到：求直线方程和最值问题． 想到：直线方程的几种形式及构建关于面积函数，转化为函数最值问题． ()设出直线的方程并代入抛物线方程，结合根与系数关系求解的解题 指导 斜率； ()以三角形面积为突破口建立关于面积的函数，通过利用导数求面积最大值，解得直线斜率，从而求出直线方程. [规范解答] ()当垂直于轴时，显然不符合题意；所以可设直线的方程为＝＋，分 代入方程＝得：＋(－)＋＝， ∴＋＝＝，得＝－， ∴直线的方程为＝(－)＋，分 ∵中点的横坐标为， ∴中点的坐标为， ∴的中垂线方程为 ＝－(－)＋＝－＋，分
∵的中垂线经过点()，故＝，得＝， ∴直线的方程为＝－分
()由()可知的中垂线方程为＝－＋， ∴点的坐标为()，分 ∵直线的方程为－＋－＝， ∴到直线的距离＝＝，分 由(\\\\(－＋－＝，＝))∴＋＝，·＝，分 ＝－＝，分 ∴△＝，
得－＋－＝，
设 ＝，则<<， ＝(－)＝－＋，分 ′＝－＋，由′＝，得＝， 即＝±时＝，分
此时直线的方程为±－＝分
()易漏掉斜率不存在的情况；
()求面积最值时注意换元法的运用，同时注意换元后新元的取值范围．
[技法总结] 最值问题的求解思路
()建立目标函数，然后根据目标函数的特征选择相应的方法进行求解．
()构建不等式，利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解，且大多会用到基本不等式．
[变式提升]
．(·天水二模)已知椭圆：＋＝(＞＞)经过点，椭圆的一个焦点为(，)．
()求椭圆的方程；
()若直线过点(，)且与椭圆交于，两点．求的最大值． 解 ()依题意，设椭圆的左，右焦点分别为(－，)，(，)． 则＋＝＝， ∴＝，＝，∴＝， ∴椭圆的方程为＋＝． ()当直线的斜率存在时， 设：＝＋，(，)，(，)． 由(\\\\(＝＋()，,()＋＝))由Δ＞得＞． 由＋＝－，＝得 ＝ ＝ ．
设＝，则＜＜． ∴＝ ＝ ≤．
当直线的斜率不存在时，＝＜， ∴的最大值．
得(＋)＋＋＝．
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