组合数学
一、选择题（每道题3分，共30分）
1、把某英语兴趣班分成两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ ）
A、800 B、780 C、900 D、850 答案：选D
2??5??6?解析：若选中的这名男同学是甲组的：??1???2???3??400 ??????5??3??6?若选中的这名男同学是乙组的：??3???1???2??450 ??????所以符合题目条件的总方式数为：400?450?850
2、多项式
?2x0?x1?4x2?x3?4中项x02?x12?x2的系数是（ ）
A、78 B、104 C、96 D、48 答案：选C
解析：由多项式定理1.18得其系数为22?4?3、求A=｛
｝全排列中
4!?4?4?6?96 2!?2!1!?不相邻，
不相邻的全排
列个数。 （ ）
A、 72 B、48 C、36 D、24 答案：B
解：设S为A的全排列之集，
为
相邻的全排列之集，
为
相邻
的全排列之集，则 ｜S｜= 5
｜｜= ｜｜= 2， ｜｜= 2×2= 43， ｜S-｜= ｜S｜-｜｜- ｜｜+｜
= 5 - 2 - 2 + 43 = 120 – 48 – 48 + 24 = 48 .
4、求多重集s??3a,2b,4c?的8-排列数是（ ） A 700 B 140 C1260 D 1200
｜
1
答案：C
分
析
：
M1??2a,2b,4c?N2?
N1?8!?4202!?2!?4!
M2??3a,1b,4c ?8!8!?280 M3??3a,2b,3?560 c N2??3!?1!?4!3!?2!?3!所以：N?N1?N2?N3?1260。
5、一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？ （ ）
A、50000 B、50388 C、55000 D、52788 答案：选B
解析：这是一个组合问题，s????a1,??a2,??a3,?,??a8?的12-可重组合
?12?8?1??19?所以N???????50388
12???12?6、在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式
数（ ） 20!20!A B C 1520 D2015 5!15!答案：A
分析：考虑将20位女士固定，将15位男士依次分派给20位女士，则方法数为
20!P(20,15)?。
5!7、an?n的常生成函是：（ ）（卢伟龙）
11tt2?A： B： C： D： 2222(1?t)(1?t)(1?t)(1?t)答案：D
??11n??ntn?1 分析：A(t)??ant 由于??t两边求导得 21?tn?0?1?t?n?0n?0?n所以
t?1?t?2??nt 所以A(t)??antn?nn?0n?0??t?1?t?2
8、确定34?52?117?138的正因子的个数（ ） A 960 B 1080 C 945 D 448 答案：B
2
分析：因为3,5,7,13都是素数，故每个因子均有以下形式3i?5j?11k?13l，而
0?i?4,0?j?2,0?k?7,0?l?8，则由乘法原理可得：5?3?8?9?1080
t2n9、??（ ）
n?0(2n)??et?e?tet?e?tA： B： C：et?e?t D：et?e?t
22答案：A
t2t2nt2n?1分析：e?1?t???????
2?(2n)??2n?1??tet?e?tt2t2nt2t2nt2n?1?1?????? e?1?t???????
22?(2n)?2?(2n)??2n?1??t10.已知 = 5且，，
有非负整数解个数。 （ ） A、9 B、12 C、15 D、18 答案：A
分析：令 = – 1,则 设A为 ｜A｜= ｜
｜= ｜为为
= 4，
= 4 的所有非负整数解之集， = 4 且 = 4 且 = 4 且 = ｜=
，
=
，
｜= ｜
｜= 0，
的非负整数解之集， 的非负整数解之集， 的非负整数解之集， 4，
，则此方程的所
｜｜= 0， ｜｜= ｜｜｜= 0， 所以
N = ｜A – ｜ =｜S｜-｜｜- ｜｜- ｜
-｜｜ =
｜+｜｜+ ｜｜+｜｜
– 2
3
= 9.
二、填空题：（每道题3分，共15分） 1. 下列命题是真命题的有：
①如果?kf(n)不恒等于零，而?k?1f(n)恒等于零，那么f(n)是n的k次多项式。 ②如果?kf(n)不恒等于零，而?k?1f(n)恒等于零，则数列{f(n)}n?0的前n项和
sn??f(i)是n的一个k次多项式。
i?0n?1?n?k?③设{f(n)}n?0是Fibonacci数列，则f(n)????k??(n?0,1,2,?)。
k?0??④对于第一类Stirling数，有S1(n?1,k)?S1(n,k?1)?nS1(n,k)(n?k?1)。 则真命题的序号有： 。
答案:①③④。
分析：②数列{f(n)}n?0的前n项和sn??f(i)是n的一个k?1次多项式。因为：
i?0n?1n[]2?sn?sn?1?sn?f(n),所以?k?1sn??k(?sn)??kf(n)?0， ?k?2s(n)??k?1(?sn)??k?1f(n)?0， 由①，sn是n的一个k?1次多项式，所以②不正确。
2.在边长为a的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于 1答案：a2
81解析：把正方形的面积四等分，则每一个正方形的面积为a2。
8 把这四个小正方形作为四个抽屉，在它们中放入9个点，由抽屉原则知道，
必有一个正方形内至少有3点，即必有一个三角形落在某一个正方形内，
111这时，它的面积小于或等于?a2?a2
2483.已知在Fibonacci数列中，已知f(3)?3,f(4)?5,f(5)?8，试求Fibonacci数f(20)? 。 答案： 10946.
分析：f(20)?f(10?10)?f(10)f(10)?f(9)f(9)，
4
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